内容发布更新时间 : 2024/6/1 16:55:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
uuuuruuurOZ2?Z1Z，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
解：z=z2－z1=(1+2i)－(2+i)=－1+i， ∵z的实部a=－1＜0，虚部b=1＞0，
∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内.
点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB所表示的复数是zB－zA. ，而BA所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关
例4 复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：利用AD?BC，求点D的对应复数.
解法一：设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，y∈R)，是：
AD?OD?OA=(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－BC?OC?OB=(－1－2i)－(－2+i)=1－3i.
∵AD?∴?2)i;
BC，即(x－1)+(y－2)i=1－3i，
例2图 ?x?1?1,?x?2,解得?
?y?2??3,?y??1.故点D对应的复数为2－i.
分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.
解法二：因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是(－2+i)+ (x+yi)=0，∴x=2，y=－1.
故点D对应的复数为2－i.
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
巩固练习：
1.已知复数z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2－z1在复平面内所表示的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是
－9i B.－5－3i －11i D.－7+11i
3.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为
2
2
D.5
4.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 5.一个实数与一个虚数的差（ ）
A.不可能是纯虚数 B.可能是实数
C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 6.计算(－2?3i)?(3?2i)?[(3?2)?(3?2)i]=____.
7.计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R). 8.计算（1－2i)－(2－3i)+(3－4i)－…－(2002－2003i).
9.已知复数z1=a－3+(a+5)i,z2=a－1+(a+2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1、OZ2（O为原
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点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值.
解：Z1Z2对应的复数为z2－z1，则
z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i
∵z2－z1是纯虚数
2??a?a?2?0∴? 解得a=－1.
2??a?a?6?010．已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个
顶点D对应的复数.
解：设D（x,y),则
AD?OD?OA对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i BC?OC?OB对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i
∵AD?BC ∴(x－1)+(y－2)i=1－3i ∴??x?1?1?x?2,解得?
?y?2??3?y??1∴D点对应的复数为2－i。
答案： 6.－22i 7.(y－x)+5(y－x)i
8.解：原式=(1－2+3－4+…+2001－2002）+(－2+3－4+…－2002+2003)i =－1001+1001i
课后作业：课本第112页 习题 1 , 2 , 3 教学反思：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，
那么a+bi=c+di?a=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
复数的加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，d∈R). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。
复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OP、OP，那么，以OP1、OP2为两21边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
§复数代数形式的乘除运算
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用。 教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 教学过程：
学生探究过程：
1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即 i??1; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
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2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x=－1的一个根，方程x=－1的另一个根是－i
4n+14n+24n+34n
3. i的周期性：i=i, i=-1, i=-i, i=1
4.复数的定义：形如a?bi(a,b?R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即z?a?bi(a,b?R)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a?bi(a,b?R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
26. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课：
１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
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其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i， z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)
=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，
同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i， ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.
z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算：
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（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i).
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解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25;
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(2) （1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i.
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数z的共轭复数为z。
4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)?(c+di)或者
a?bi c?di5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知??cx?dy?a,
?dx?cy?b.ac?bd?x?,22??c?d解这个方程组，得?
?y?bc?ad.?c2?d2?于是有:(a+bi)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad?2 i. 222c?dc?d2
②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将
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a?bi的分母有理化得：
c?di原式=
a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i?? c?di(c?di)(c?di)c2?d2?(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?i.
c2?d2c?d2c2?d2∴(a+bi)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad?2i. 222c?dc?d点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想