内容发布更新时间 : 2024/5/2 12:17:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

例1．利用定积分的定义，计算分析：令f(x)=x； （１）分割

3ò10x3dx的值。

把区间[0,1]n等分，则第i个区间为：犏轾i-1i,(i=1,2,L,n)，每个小区间长度为：犏臌nnVx=ii-11-=；

nnn（２）近似代替、求和 取xi=i(i=1,2,L,n)，则nòò10x3dx?Snif()?Vx邋ni=1ni1()?ni=1n2n31121骣1÷23?i=nn+1=1+()÷（３）??桫n÷n4i=1n444?1n2取极限

101骣1÷1xdx=limSn=lim?1+÷=. ?÷?nn桫4n43例2．计算定积分

ò21(x+1)dx

分析：所求定积分是x=1,x=2，y=0与y=x+1所围成的梯形面积，即为如图阴影部分

255面积，面积为。 即：ò(x+1)dx=

122y 思考：若改为计算定积分被积函数在[-2,2]上

ò2-2(x+1)dx呢？改变了积分上、下限， 出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 例３．计算定积分

O 1 2 x ò10(2x-x2)dx

(2x-蝌01分析：利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出四．课堂练习

计算下列定积分 1．2．

x)dx=2120210xdx-?10x2dx

1ò10dx的值。 xdx，òxdx，就能得到ò(2x-x2)0ò50(2x-4)dx ò(2x-4)dx=9-4=5

05ò1-1xdx òxdx=-1111创11+创11=1 223．课本练习：计算

ò20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么？

五．回顾总结

1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 六．布置作业： P50 3、5

第二章 推理与证明 合情推理

掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 ●教学重点：归纳推理及方法的总结。

●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。 ●教具准备：与教材内容相关的资料。 ●课时安排：1课时 ●教学过程： 一.问题情境 (1)原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）

A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？ B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

观察 猜想 归纳推理的发展过程 证明

(2)皇冠明珠

追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。 链接: 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690 世界近代三大数学难题之一。 年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的 偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742提出了以下的猜想: (a) 任 年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)， 何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成 三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但 他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成 功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但 验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20 年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一 个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减 少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 思考：其他偶数是否也有类似的规律？ ③讨论：组织学生进行交流、探讨。 ④检验：2和4可以吗？为什么不行？

⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。 3.数学建构

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;

简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 ●归纳推理的一般步骤： 4.师生活动

例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

000

例2 前提：三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是40，……

0

结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×180。 例3

22?122?222?3?,?,?,? 33?133?233?3探究：上述结论都成立吗？

强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！” 5.提高巩固

?an?的第一项a1?1,且an?1?例4：已知数列数列的通项公式。an(n?1,2,......),试归纳出这个 1?an①探索：先让学生独立进行思考。

②活动：“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。 ③活动：“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？ 【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。 【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心． ⑵能力培养（例2拓展）

例4拓展:a1?2,a2?1,a3?21,a4?,求an?? 32①思考：怎么求an？组织学生进行探究，寻找规律。

②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。

技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.

技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律. 6.课堂小结

(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，

那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 (2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明

类比推理

●教学目标：

通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。

类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。 ●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。 ●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。 ●教具准备：与教材内容相关的资料。 ●课时安排：1课时 ●教学过程： 一．问题情境

从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.

他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？

二．数学活动：我们再看几个类似的推理实例。 例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;

2222

(3) a=ba=b;等等。 (3) a＞ba＞b;等等。 问：这样猜想出的结论是否一定正确？

例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.