内容发布更新时间 : 2024/12/27 18:41:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
则当n?k?1时,1111111????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311 ???????242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)244．用数学归纳法证明?n?1??n?2?LL?n?n??2n?1?3?LL??2n?1?,?n?N?? 【课外作业】 《课标检测》
数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：
【创设情境】
问题1：数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）
问题2：数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；
*
（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。 【探索研究】
7n?1能被9整除。 问题：用数学归纳法证明：(3n?1)g法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。 ②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。 【例题评析】
例1：求证: an?1?(a?1)2n?1能被a2?a?1整除（n∈N+）。
例2：数列{an}中，an?1?an,a1=1且(an?1?an)2?2(an?an?1)?1?0
（1）求a2,a3,a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明
+2变题：（2002全国理科）设数列{an}满足an?1?an?nan?1，n∈N,
(1)当a1=2时，求a2,a3,a4，并猜想{an}的一个通项公式； （2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有 ①an≥n+2 ②
1111??ggg?
1?a11?a21?an2
例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将
平面分成多少部分？
变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：
这n个圆把平面分成n+n+2个部分。
2
2k?1?x)?2k?1,(k∈N+)的自然数x例4：设函数f(x)是满足不等式log2x?log2(3g的个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式；
2+
（３）令Ｐn=n+n-1 (n∈N),试比较Ｓn与Ｐn的大小。 【课堂小结】
1.猜归法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳→猜想→证明。 2.两个注意：
（1）是否用了归纳假设？ （2）从n=k到n=k+1时关注项的变化？
【反馈练习】
1 观察下列式子 1?131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?…则可归纳出____ 223423234答案:1?1112n?1*
(n∈N) ?????n?12232(n?1)2n21．用数学归纳法证明2?n?n?4,n?N??
2．已知数列
1111计算S1，S2，S3，S4，根据计算结，，，...，，...，1?44?77?10（3n?2）（3n?1）果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明。
1??2??3??3.是否存在常数a、b、c，使等式
?????????n??n??n?对一切n?N都成立？并证明你的结论. 【课外作业】 《课标检测》
?333?Ln??????n?3an2?bn?c ?n 复习课
一、教学目标：
1．了解本章知识结构。
2．进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 3．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力。 二、教学重点：进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。
难点：认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力
三、教学过程：
【创设情境】 一、知识结构： 归纳推理
合情推理 推理 类比推理 演绎推理 推 理 与 综合法 证 分析法 直接证明 明 数学归纳 证明
间接证明 反证法
【探索研究】
我们从逻辑上分析归纳、类比、演绎的推理形式及特点；揭示了分析法、综合法、数学归纳法和反证法的思维过程及特点。通过学习，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识。 【例题评析】
例1：如
图第n个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n－2个图形中共有________个顶点。
变题：黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
第1个 第2个
第3个 则第n个图案中有白色地面砖 块。 例2：长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为?,?，则cos2??sin2?
=1，将长方形与长方体进行类比，可猜测的结论为：_______________________;
变题1：已知，m是非零常数，x∈R,且有f(x?m)= 数？若是，求出它的一个周期，若不是，说明理由。
1?f(x),问f(x)是否是周期函
1?f(x)变题2：数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1?1,an?1?（Ⅰ）数列{
n?2Sn(n?1,2,3?).证明： nSn}是等比数列； （Ⅱ）Sn?1?4an. n例3：设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与函数f(x)的图象关于y轴对称，求证：
1f(x?)为偶函数。
2111n例4：设Sn=1+++...+ (n>1,n∈N),求证：S2n?1? （n?2,n?N）
23n2评析：数学归纳法证明不等式时，经常用到“放缩”的技巧。 变题：是否存在a、b、c使得等式1·2+2·3+…+n(n+1)=
2
2
2
n(n?1)2
(an+bn+c) 对于一切正整12数n都成立？证明你的结论。
解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，
1?4?(a?b?c)?6?a?3?1??这时令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c) ??b?11
2??c?10??70?9a?3b?c??于是，对n=1,2,3下面等式成立
222n(n?1)1·2+2·3+…+n(n+1)=(3n2?11n?10)
12222
记Sn=1·2+2·3+…+n(n+1) （1）n=1时，等式以证，成立。
k(k?1)2
（2）设n=k时上式成立，即Sk= (3k+11k+10)
122k(k?1)2
那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)
2(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)22= (3k+5k+12k+24)=［3(k+1)+11(k+1)+10］
1212也就是说，等式对n=k+1也成立
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立
【课堂小结】体会常用的思维模式和证明方法。 【反馈练习】
1．（2005辽宁）在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成立， 则
A．?1?a?1
B．0?a?2
C．?13?a? 22D．?31?a? 222．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形
（1） （2） （3） （4）
那么下列图形中
（1） （2） （3） （4）
可以表示A*D，A*C的分别是 ( ) A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4）
n3 已知f(n)=(2n+7)·3+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )