内容发布更新时间 : 2024/6/26 17:25:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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培优点十 等差、等比数列
1．等差数列的性质
例1：已知数列?an?，?bn?为等差数列，若a1?b1?7，a3?b3?21，则a5?b5?_______ 【答案】35
【解析】∵?an?，?bn?为等差数列，∴?an?bn?也为等差数列， ∴2?a3?b3???a1?b1???a5?b5?，∴a5?b5?2?a3?b3???a1?b1??35．
2．等比数列的性质
例2：已知数列?an?为等比数列，若a4?a6?10，则a7?a1?2a3??a3a9的值为（ ） A．10 【答案】C
【解析】与条件a4?a6?10联系，可将所求表达式向a4，a6靠拢，
22从而a7?a1?2a3??a3a9?a7a1?2a7a3?a3a9?a4?2a4a6?a6??a4?a6?，
2B．20 C．100 D．200
即所求表达式的值为100．故选C．
3．等差、等比综合
例3：设?an?是等差数列，其公比q?1，且bi?0?i?1,2,3,L,n?，若a1?b1，?bn?为等比数列，a11?b11，
则有（ ） A．a6?b6 【答案】B
【解析】抓住a1，a11和b1，b11的序数和与a6，b6的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，a1?b1，a11?b11?a1?a11?b1?b11， 因为a1?a11?2a6，而?bn?为等比数列，联想到b1?b11与b6有关，
2所以利用均值不等式可得：b1?b11?2bb111?2b6?2b6；
B．a6?b6 C．a6?b6 D．a6?b6或a6?b6
1
（q?1故b1?b11，均值不等式等号不成立）
所以a1?a11?b1?b11?2a6?2b6．即a6?b6．故选B．
对点增分集训
一、单选题
1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（ ） A．6斤 【答案】D
【解析】原问题等价于等差数列中，已知a1?4，a5?2，求a2?a3?a4的值． 由等差数列的性质可知：a2?a4?a1?a5?6，a3?a1?a5?3， 2B．7斤 C．8斤 D．9斤
则a2?a3?a4?9，即中间三尺共重9斤．故选D．
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5?40，S9?126，则S7?（ ） A．66 【答案】C
B．68
C．77
D．84
?a3?8【解析】根据等差数列的求和公式S5?5a3?40，S9?9a5?126，化简得?，
a?14?5?a1?2d?8?a1?2根据等差数列通项公式得?，解方程组得?，
a?4d?14d?3??1S7?7a4?7?a1?3d??7??2?3?3??77．故选C．
3．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，且满足2Sn?2n?1??，则?的值为（ ） A．4 【答案】C
B．2 C．?2 D．?4
2
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【解析】根据题意，当n?1时，2S1?2a1?4??，故当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?1， ∵数列?an?是等比数列，则a1?1，故
4???1；解得???2．故选C． 24．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，a5?a7?14，则S11?（ ） A．140 【答案】D
【解析】等差数列?an?的前n项和为Sn，a5?a7?14， ∴S11?a?a7a1?a1114?11?5?11??11?77．故选D． 222B．70 C．154 D．77
5．已知数列?an?是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则公比q的值为（ ） A．?1 2B．?2 C．1或?1 2D．?1或
1 2【答案】C
【解析】由题意知：2a3?a1?a2，∴2a1q2?a1q?a1，即2q2?q?1， 1∴q?1或q??．故选C．
216．公比不为1的等比数列?an?的前n项和为Sn，且?2a1，?a2，a3成等差数列，若a1?1，
2则S4?（ ） A．?5 【答案】A
B．0
C．5
D．7
1【解析】设?an?的公比为q，由?2a1，?a2，a3成等差数列，可得?a2??2a1?a3，
2若a1?1，可得?q??2?q2，解得q??2?1舍去?，
则S4?a1?1?q4?1?q?1???2?41???2???5，故选A．
7．等比数列?an?的各项均为正数，且a5a6?a4a7?18，则log3a1?log3a2?L?log3a10?（ ） A．12 【答案】B
【解析】由等比数列的性质结合题意可知：a5a6?a4a7?9，
B．10 C．8
D．2?log35
3