内容发布更新时间 : 2024/11/8 16:36:37星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

16．已知数列{an}满足nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若an＜an+1对?n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是 [0，+∞） ． 【考点】数列递推式．

【分析】把已知递推式变形，可得数列{

}的奇数项与偶数项均是以λ为公差

的等差数列，分类求其通项公式，代入an＜an+1，分离参数λ求解． 【解答】解：由nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n）=λn（n+2）， 得∴数列{

，

}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，

∵a1=1，a2=2， ∴当n为奇数时，∴

当n为偶数时，∴

．

＜

，

；

，

，

当n为奇数时，由an＜an+1，得即λ（n﹣1）＞﹣2．

若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞当n为偶数时，由an＜an+1，得

，∴λ≥0；

＜

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，

即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．

综上，λ的取值范围为[0，+∞）． 故答案为：[0，+∞）．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=（1）求C； （2）若c=

，求△ABC的面积S的最大值．

csinA﹣acosC．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣

）=1，结合C的范围，可得C的值．

（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．

【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵2a=

csinA﹣acosC，

sinCsinA﹣sinAcosC，…2分

∴由正弦定理可得：2sinA=∵sinA≠0， ∴可得：2=

sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣

∈（﹣．…6分

，

）=1， ），

∵C∈（0，π），可得：C﹣∴C﹣

=

，可得：C=

（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，

∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）…8分 ∴S△ABC=absinC=

18．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=

ab≤，可得△ABC面积的最大值为．…12分

，∠EAD=∠EAB．

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（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

【分析】（1）连接EG，由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，可证△EAD≌△EAB，进一步证明BD⊥平面ACEF，则平面ACEF⊥平面ABCD； （2）法一、过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，可得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，得到EF⊥平面BDM，可得∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，

在△DMB中，由余弦定理求得∠BMD的余弦值，进一步得到二面角B﹣EF﹣D的余弦值；

法二、在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，得MG⊥平面ABCD，则直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

【解答】（1）证明：连接EG，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB， 在△EAD和△EAB中，

AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB， ∴△EAD≌△EAB， ∴ED=EB，则BD⊥EG，

又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF， ∵BD?平面ABCD， ∴平面ACEF⊥平面ABCD；

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（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD， 易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角， ∴∠EAC=60°， ∵EF⊥GM，EF⊥BD， ∴EF⊥平面BDM，

∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角， 可求得MG=，DM=BM=

，

，

在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD=∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为

；

解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点， 由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD， ∵MG⊥平面ABCD，

∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，

分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz， 可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°， 则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（

，

设平面BEF的一个法向量为

，则

），F（

，

），

，

取z=2，可得平面BEF的一个法向量为同理可求得平面DEF的一个法向量为∴cos＜

＞=

=

，

．

， ，

∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为

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19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费． （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其

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