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实数完备性六大基本定理及闭区间套定理的运用

作者：车宗原

来源：《中国科技博览》2016年第21期

[摘 要]随着数学学科的进步与发展，人类对数系的了解也不断深入。从有理数到无理数，是人类在数系认识上的一次飞跃。而由有理数和无理数共同组成的集合——实数集，具有完备性这一基本性质。实数的完备性可以用确界存在定理、单调有界收敛定理、闭区间套定理、致密性定理，柯西收敛定理和有限覆盖定理刻画，这六个定理彼此等价，可用圆周法循环证明。其中，闭区间套定理能够在已知“整体性质”的情况下刻画 “局部性质”，可以通过闭区间套的构造来完成数学分析中其他定理的证明。

[关键词]数系 实数的完备性 闭区间套定理 循环证明

中图分类号：TP260 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）21-0392-02 引言

实数系具有完备性这一重要性质，现代数学尤其是分析正是建立在这一基础之上，它可由实数系六大基本定理刻画。历代数学家用各种方法证明了实数完备性六大定理，除了常见的圆周法循环证明外，还有各种等价性证明。这些证明方法里蕴含着对这六大定理及其运用方法和技巧的理解。这六大定理也可以运用于数学分析中其他定理的证明。其中，通过构造闭区间套运用闭区间套定理能够解决分析中其他问题。通过对这六大定理的了解和应用，能够了解如何用分析的语言来刻画数学定理，领略数学证明的魅力。 1.实数理论的建立 1.1 从有理数到无理数

数是数学中的基础概念。数学不断发展进步，与此同时，数系也不断扩展。人类很早就认识了有理数。在公元前五世纪，毕达哥拉斯学派主张“万物皆数”，当时所有人都坚定不移地认为“一切数均可表示成整数或者整数之比”。然而，毕达哥拉斯的学生希帕索斯一天突然想用勾股定理来测度等腰直角三角形的斜边与直角边之比，却发现这个值无法测度，于是提出了无理数的存在。这一发现震惊了当时整个数学界，人们无法否认无理数的存在，然而之前长期的认识使得人们同样无法接受它，这一问题持续了千年之久。

在希帕索斯提出无理数之后，人类才开始意识到有理数并不完美，然而当时的数学还并不能很好地解释无理数的存在。直到18世纪，基本常数圆周率和自然常数e等被数学家证明是

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无理数之后，才有越来越多的人拥护无理数。有理数和无理数一起组成了实数集合，也正是在实数理论建立之后，人们才从根本上理解和承认了无理数。 1.2 实数理论的提出

17世纪，牛顿和莱布尼兹先后提出的牛顿—莱布尼兹公式，成为整个微积分论的基础。两人的理论都建立在无穷小量的分析之上，但是他们自身却不能很好地理解和运用无穷小量。因此微积分也受到了很多人的攻击和反对。

这使得当时的数学家们很是尴尬。在应用上，微积分非常成功，然而，在理论上，它自身的逻辑却是混乱的。为了解决这一问题，数学家们将分析基础建立在实数体系之上，分别建立了自己的分析体系。也正是在这个时候，实数理论才被提出并被普遍接受，成为数学分析的基石。

2.实数系六大基础定理 2.1 实数系六大基础定理

19世纪，数学家们分别提出了自己的实数体系，后来，随着分析的发展和严格，数学家们对各种实数体系进行了归纳和总结，建立了实数理论。实数理论可以归结为六大基本定理，包括确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理和有限覆盖定理。

2.1.1确界存在定理（实数系连续性定理）

定义：非空有上界的闭集一定有上确界，非空有下界的闭集一定有下确界。1817年由捷克数学家波尔查诺提出，刻画了实数系的连续性性质，这也是数学史上首次提出实数理论。 2.1.2单调有界收敛定理

定义：单调有界数列必定收敛。这个定理由德国数学家维尔斯特拉斯提出，常用于数列收敛的判断和证明。 2.1.3闭区间套定理

定义：设一列闭区间n=1，2，3….满足1）………….2）。则. 2.1.4致密性定理

定义：有界数列有收敛的子列。从极限点的角度来叙述致密性定理，就是有界数列必有极限点。

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2.1.5柯西收敛定理

定义：如果数列{}具有以下特性：对于任意给定的，存在正整数N，使得当n， m>N时，成立，则称数列{}收敛。 2.1.6有限覆盖定理：

定义：设G={/}是的一个开覆盖，则必存在有限子集={，…….}覆盖。 2.2 循环证明法

实数系六大基础定理彼此之间相互等价，可用循环证明法证明其成立。循环证明法，也称圆周法，是证明多个等价性定理的常见方法。通常假设其中一个定理成立，用这个定理来证明下一个定理成立，再以下一个已经证明的定理为已知，依次证明之后的定理成立。然后，用最后一个定理来证明第一次假设的定理成立。用循环证明法证明实数完备性六大基础定理的常见思路是，由确界存在定理证明单调有界收敛定理，由单调有界收敛定理证明闭区间套定理，由闭区间套定理证明致密性定理，由致密性定理证明柯西收敛准则，由柯西收敛准则证明有限覆盖定理，最后，再由有限覆盖定理证明确界存在定理。 3.闭区间套定理的运用

在实数六大基础定理中，闭区间套定理十分典型，也有着较强的应用技巧。闭区间套定理是指满足一定条件的闭区间套最后可以收敛到同一个点，主要可由单调有界收敛定理证明。 从闭区间套定理的定义可以看出，根据闭区间的原有性质，可利用闭区间套定理推导出闭区间上某点或者该点所在邻域的性质，即已知“整体性质”可推导“局部性质”。根据闭区间套定理的这一特质，闭区间套定理可以容易地推广到n维空间。在运用闭区间套定理时，闭区间套的构造和“局部性质”的继承是关键。

3.1运用反证法从“局部性质”证明“整体性质”

例.设f（x）在R上有定义，f（x）逐点单调增加，即 证明：f（x）在R上严格单调递增。

分析：这是一道典型的由“局部性质”推导到“整体性质”的证明题。可以考虑闭区间套定理与反证法结合。假设在某个区间上结论不成立，通过闭区间套的构造将该性质传递到某个邻域上，与已知的“局部性质”相矛盾，从而证明结论成立。

证明：假设f（x）在R上不是单调递增，即。用二分法构造闭区间套。等分，若；若。此时总有，。等分，如上方法可选，满足，……如此继续可以得到一列闭区间{}满足