内容发布更新时间 : 2024/5/22 6:53:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

线性代数

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题

1? 试用施密特法把下列向量组正交化?

?111??? (1)(a1, a2, a3)??124??

?139???1?1??1??0?11?? (2)(a1, a2, a3)??? ??101???110??? 2? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵? 3? 求下列矩阵的特征值和特征向量:

2??2?1??3?; (1)?5?3??10?2????123??? (2)?213?.

?336??? 4? 设A为n阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同?

5? 设??0是m阶矩阵Am?nBn?m的特征值? 证明?也是n阶矩阵BA的特征值. 6? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? 3? 求|A3?5A2?7A|? 7? 已知3阶矩阵A的特征值为1? 2? ?3? 求|A*?3A?2E|?

?201??? 8? 设矩阵A??31x?可相似对角化? 求x?

?405????2?12???T

a3?的一个特征向量? 9? 已知p?(1? 1? ?1)是矩阵A??5??1b?2???1

线性代数

(1)求参数a? b及特征向量p所对应的特征值? (2)问A能不能相似对角化？并说明理由?

?2?20????21?2 10? 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵??化为对角阵. ?0?20????1?2?4??5????4 11? 设矩阵A???2x?2?与?????4?21????????相似? 求x? y? 并求一个y??正交阵P? 使P?1AP???

12? 设3阶方阵A的特征值为?1?2? ?2??2? ?3?1? 对应的特征向量依次为p1?(0? 1? 1)T? p2?(1? 1? 1)T? p3?(1? 1? 0)T? 求A.

13? 设3阶对称矩阵A的特征值?1?6? ?2?3? ?3?3? 与特征值?1?6对应的特征向量为p1?(1? 1? 1)T? 求A.

?142??? 14? 设A??0?34?? 求A100?

?043???2