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2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编:解三角形
一、选择填空题 1.[2014·广东卷7] 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【答案】A
2sin2B-sin2A
2.[2014·江西卷5] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( )
sin2A
117A.- B. C.1 D. 932
【答案】D 3.[2014·四川卷8] 如图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(3-1)m B.180(2-1)m C.120(3-1)m D.30(3+1)m 【答案】 C.
151
4.[2014·北京卷12] 在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则c=________;sin A=________.【答案】2,
485.[2014·福建卷14] 在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=3,则AB等于________.【答案】1
π
6.[2014·湖北卷13] 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=3,则B=______.
6【答案】
π2π或 337.、[2014·江苏卷14] 若△ABC的内角满足sin A+2sin B=2sin C,则cos C的最小值是______.【答案】6?2 48.[2014·全国新课标卷Ⅰ16] 如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=________m. 【答案】150
二、解答题 1.[2014·陕西卷16] △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值. 解:(1)
a,b,c成等差数列?a?c?2b
由正弦定理得sinA?sinC?2sinB
sinB?sin[??(A?C)]?sin(A?C)
?sinA?sinC?2sin?A?C?
(2)由题设有b=ac,c=2a,?b=2a,
2
a2?c2?b2a2?4c2?2a23?? 由余弦定理得cosB?2ac4a24
1→→
2.[2014·辽宁卷17] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA·BC=2,cos B=,b=3.
3
求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.
解:(Ⅰ)由BA?BC?2得,cacosB?2.又cosB?221222.所以ca?6.由余弦定理,得a?c?b?2accosB. 3?ac?6,又b?3.所以a?c?9?2?2?13.解?2得a?2,c?3或a?3,c?2.因为a?c.所以a?3,c?2. 2a?c?13,?(Ⅱ)在?ABC中,sinB?1?cosB?1?()?213222c22242.由正弦定理得,sinC?sinB??. ?b3393因a?b?c,所以C为锐角.因此cosC?1?sin2C?1?(4227)?.
99于是cos(B?C)?cosBcosC?sinBsinC?17224223. ????393927
3.[2014·新课标全国卷Ⅱ17] 四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.
解:(I)由题设及余弦定理得
222?BC?CD?2 BDB?CcCoDs C =13?12cosC , ①
22?AB?D2A?2 BDA?BcDoAs ACs. ② ?5?4co1 由①,②得cosC?,故C?600,BD?7。
2 (Ⅱ)四边形ABCD的面积
11 S?AB?DAsinA?BC?CDsinC
2211 ?(?1?2??3?2)sin600
22 ?23 4.[2014·天津卷16] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 a-c=π
(1)求cos A的值;(2)求cos?2A-?的值.
6??解:(I)在三角形ABC中,由
6
b,sin B=6sin C. 6
bc6?及sinB?6sinC,可得b?6c又a?c?b,有a?2c,所以sinBsinC6b2?c2?a26c2?c2?4c26cosA???.
2bc426c2
(II) 在三角形ABC中,由cosA?611510.,可得sinA?.,.,于是cos2A?2cos2A?1??,sin2A?2sinAcosA?4444???15?3. 所以cos(2A?)?cos2Acos?sin2Asin?6668
5.[2014·重庆卷18] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.
5
(1)若a=2,b=,求cos C的值;
2BA
(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,
22
解:(Ⅰ)由题意可知:c?8??a?b??7 2222?5??7?2??????222a?b?c?2??2???1
?由余弦定理得:cosC?52ab52?2?2(Ⅱ)由sinAcos2BA1?cosB1?cosA?sinBcos2?2sinC可得:sinA??sinB??2sinC 2222化简得sinA?sinAcosB?sinB?sinBcosA?4sinC
因为sinAcosB?sinBcosA?sin(A?B)?sinC,所以sinA?sinB?3sinC 由正弦定理可知:a?b?3c,又因a?b?c?8,故a?b?6 由于S?19absinC?sinC,所以ab?9,从而a2?6a?9?0,解得a?3,b?3. 221
6.[2014·全国卷18] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.
3解:由题设和正弦定理得,3sinAcosC=2sinCcosA,所以3tanAcosC=2sinC.
11,所以cosC=2sinC. tanC=. 32tanA?tanC所以tanB=tan[180?-(A+C)]=-tan(a+c)=?=-1, 即B=135?.
1?tanAtanC因为tanA=
7. [2014·山东卷17] △ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.
解:(I)在?ABC中,由题意知sinA?1?cosA?2π6
,B=A+. 32
3, 36, 3又因为B?A??2,所有sinB?sin(A??2)?cosA?由正弦定理可得b?asinB?sinA3?63?32. 33(II)由B?A??2得cosB?cos(A??2)??sinA??3, 3
由A?B?C??,得C???(A?B).所以sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB
?33661?. ?(?)??3333311132. absinC??3?32??2232因此,?ABC的面积S?8.[2014·安徽卷16] 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为2.
求cos A与a的值. 解: 由三角形面积公式,得
122?3?1?sinA?2,故sinA? 23因为sin2A?cos2A?1, 所以cosA??1?sin2A??1?(①当cosA?2221)?? 331时,由余弦定理得 31a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1??8,
3所以a?22 ②当cosA??1时,由余弦定理得 31a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?(?)?12,
3所以a?23
A-B
9.[2014·浙江卷18] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+4sin Asin B=2+2.
2
(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值. 解:(1)由已知得2[1?cos(A?B)]?4sinAsinB?2?2, 化简得?2cosAcosB?2sinAsinB?2, 故cos(A?B)??3?2,所以A?B?,
42因为A?B?C??,所以C?(2)因为S???3.
1?absinC,由S?ABC?6,b?4,C?,所以a?32, 23222由余弦定理得C?a?b?2abcosC,所以c?10.
2π
10.[2014·湖南卷19] 如图所示,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=,
3
π
∠BEC=.
3
(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.
解:如图设?CED??
(I)在?CDE中,由余弦定理可得EC?CD?DE?2CDDEcos?EDC,于是又题设可知 7?CD?1?CD,即
2222CD2?CD?6?0,解得CD?2(CD??3?0舍去),
在?CDE中,由正弦定理可得
DECD??sin??sin?EDCsin?CDsin2?323?2?21, EC77即sin?CED?21. 72?,于是由(I)知cos??3(II)由题设可得0???1?s2i?n?2?2127??,所以,而?AED??1?3497?2??cos?AEB?co?s?????3?2?cos3?c?os132?sin? sin??s?incos??223EA21273217?,在Rt?EAB中,cos?AEB?, ??????BEBE272714所以BE?22??47. cos?AEB?7???14??
11. [2014·江苏卷18] 如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东4
方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=. 3
(1)求新桥BC的长.(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
解法一:
(1) 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60),C(170, 0), 直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-
4. 33. 4又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=
设点B的坐标为(a,b),则k BC= k AB=
b?04??,
a?1703b?603?, a?0422解得a=80,b=120. 所以BC=(170?80)?(0?120)?150.
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知,直线BC的方程为y??4(x?170),即4x?3y?680?0 3由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r, 即r?|3d?680|680?3d?. 55因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35
680?3dr?(60?d)≥80???(60?d)≥80?5?故当d=10时,r?680?3d最大,即圆面积最大. 5所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长OA, CB交于点F.
443.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=. 355680因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=.
3OC850500?CF=,从而AF?OF?OA?.
cos?FCO334因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO==,
5400又因为AB⊥BC,所以BF=AF cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150.
3因为tan∠BCO=
因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半 径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).
因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO, 故由(1)知,sin∠CFO =
680?3dMDMDr3. ???,所以r?5MFOF?OM680?d53因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,
?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35
680?3dr?(60?d)≥80???(60?d)≥80?5?故当d=10时,r?680?3d最大,即圆面积最大. 5所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.