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2014年全国各地高考文科数学试题分类汇编：解三角形

一、选择填空题 1．[2014·广东卷7] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的( )

A．充分必要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】A

2sin2B－sin2A

2．[2014·江西卷5] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为( )

sin2A

117A．－ B. C．1 D. 932

【答案】D 3．[2014·四川卷8] 如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于( )

A．240(3－1)m B．180(2－1)m C．120(3－1)m D．30(3＋1)m 【答案】 C.

151

4．[2014·北京卷12] 在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________．【答案】2,

485．[2014·福建卷14] 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．【答案】1

π

6．[2014·湖北卷13] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝3，则B＝______．

6【答案】

π2π或 337．、[2014·江苏卷14] 若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______．【答案】6?2 48．[2014·全国新课标卷Ⅰ16] 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 【答案】150

二、解答题 1．[2014·陕西卷16] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cos B的值． 解：（1）

a，b，c成等差数列?a?c?2b

由正弦定理得sinA?sinC?2sinB

sinB?sin[??(A?C)]?sin(A?C)

?sinA?sinC?2sin?A?C?

（2）由题设有b=ac，c=2a，?b=2a，

2

a2?c2?b2a2?4c2?2a23?? 由余弦定理得cosB?2ac4a24

1→→

2．[2014·辽宁卷17] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c.已知BA·BC＝2，cos B＝，b＝3.

3

求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．

解：（Ⅰ）由BA?BC?2得，cacosB?2．又cosB?221222．所以ca?6．由余弦定理，得a?c?b?2accosB． 3?ac?6,又b?3．所以a?c?9?2?2?13．解?2得a?2,c?3或a?3,c?2．因为a?c．所以a?3,c?2． 2a?c?13,?（Ⅱ）在?ABC中，sinB?1?cosB?1?()?213222c22242．由正弦定理得，sinC?sinB??． ?b3393因a?b?c，所以C为锐角．因此cosC?1?sin2C?1?(4227)?．

99于是cos(B?C)?cosBcosC?sinBsinC?17224223． ????393927

3．[2014·新课标全国卷Ⅱ17] 四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.

(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．

解：（I）由题设及余弦定理得

222?BC?CD?2 BDB?CcCoDs C =13?12cosC ， ①

22?AB?D2A?2 BDA?BcDoAs ACs. ② ?5?4co1 由①，②得cosC?，故C?600，BD?7。

2 （Ⅱ）四边形ABCD的面积

11 S?AB?DAsinA?BC?CDsinC

2211 ?(?1?2??3?2)sin600

22 ?23 4.[2014·天津卷16] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 a－c＝π

(1)求cos A的值；(2)求cos?2A－?的值．

6??解：（I）在三角形ABC中，由

6

b，sin B＝6sin C. 6

bc6?及sinB?6sinC，可得b?6c又a?c?b，有a?2c，所以sinBsinC6b2?c2?a26c2?c2?4c26cosA???.

2bc426c2

(II) 在三角形ABC中，由cosA?611510.，可得sinA?.，.，于是cos2A?2cos2A?1??,sin2A?2sinAcosA?4444???15?3. 所以cos(2A?)?cos2Acos?sin2Asin?6668

5．[2014·重庆卷18] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

5

(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；

2BA

(2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，

22

解：（Ⅰ）由题意可知：c?8??a?b??7 2222?5??7?2??????222a?b?c?2??2???1

?由余弦定理得：cosC?52ab52?2?2（Ⅱ）由sinAcos2BA1?cosB1?cosA?sinBcos2?2sinC可得：sinA??sinB??2sinC 2222化简得sinA?sinAcosB?sinB?sinBcosA?4sinC

因为sinAcosB?sinBcosA?sin(A?B)?sinC，所以sinA?sinB?3sinC 由正弦定理可知：a?b?3c，又因a?b?c?8，故a?b?6 由于S?19absinC?sinC，所以ab?9，从而a2?6a?9?0，解得a?3,b?3. 221

6．[2014·全国卷18] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B.

3解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,所以3tanAcosC=2sinC.

11，所以cosC=2sinC. tanC=. 32tanA?tanC所以tanB=tan[180?-(A+C)]=-tan(a+c)=?=-1, 即B=135?.

1?tanAtanC因为tanA=

7． [2014·山东卷17] △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．

解：（I）在?ABC中，由题意知sinA?1?cosA?2π6

，B＝A＋. 32

3， 36， 3又因为B?A??2，所有sinB?sin(A??2)?cosA?由正弦定理可得b?asinB?sinA3?63?32. 33（II）由B?A??2得cosB?cos(A??2)??sinA??3， 3

由A?B?C??,得C???(A?B).所以sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB

?33661?. ?(?)??3333311132. absinC??3?32??2232因此，?ABC的面积S?8．[2014·安徽卷16] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.

求cos A与a的值． 解: 由三角形面积公式，得

122?3?1?sinA?2，故sinA? 23因为sin2A?cos2A?1， 所以cosA??1?sin2A??1?(①当cosA?2221)?? 331时，由余弦定理得 31a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1??8，

3所以a?22 ②当cosA??1时，由余弦定理得 31a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?(?)?12，

3所以a?23

A－B

9．[2014·浙江卷18] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2＋4sin Asin B＝2＋2.

2

(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值． 解：（1）由已知得2[1?cos(A?B)]?4sinAsinB?2?2， 化简得?2cosAcosB?2sinAsinB?2， 故cos(A?B)??3?2，所以A?B?，

42因为A?B?C??，所以C?（2）因为S???3.

1?absinC，由S?ABC?6，b?4，C?，所以a?32， 23222由余弦定理得C?a?b?2abcosC，所以c?10.

2π

10．[2014·湖南卷19] 如图所示，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝，

3

π

∠BEC＝.

3

(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．

解：如图设?CED??

(I)在?CDE中,由余弦定理可得EC?CD?DE?2CDDEcos?EDC,于是又题设可知 7?CD?1?CD,即

2222CD2?CD?6?0,解得CD?2(CD??3?0舍去),

在?CDE中,由正弦定理可得

DECD??sin??sin?EDCsin?CDsin2?323?2?21, EC77即sin?CED?21. 72?,于是由（I）知cos??3(II)由题设可得0???1?s2i?n?2?2127??,所以,而?AED??1?3497?2??cos?AEB?co?s?????3?2?cos3?c?os132?sin? sin??s?incos??223EA21273217?,在Rt?EAB中,cos?AEB?, ??????BEBE272714所以BE?22??47. cos?AEB?7???14??

11． [2014·江苏卷18] 如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东4

方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. 3

(1)求新桥BC的长．(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解法一：

(1) 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. 由条件知A(0, 60)，C(170, 0)， 直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－

4. 33. 4又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=

设点B的坐标为(a,b)，则k BC= k AB=

b?04??,

a?1703b?603?, a?0422解得a=80，b=120. 所以BC=(170?80)?(0?120)?150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由条件知，直线BC的方程为y??4(x?170)，即4x?3y?680?0 3由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r， 即r?|3d?680|680?3d?. 55因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35

680?3dr?(60?d)≥80???(60?d)≥80?5?故当d=10时,r?680?3d最大，即圆面积最大. 5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.

443.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=. 355680因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.

3OC850500?CF=,从而AF?OF?OA?.

cos?FCO334因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，

5400又因为AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150.

3因为tan∠BCO=

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半 径，并设MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).

因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO， 故由(1)知，sin∠CFO =

680?3dMDMDr3. ???,所以r?5MFOF?OM680?d53因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

?680?3d?d≥80??r?d≥80?5所以?即?解得10≤d≤35

680?3dr?(60?d)≥80???(60?d)≥80?5?故当d=10时,r?680?3d最大，即圆面积最大. 5所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.