内容发布更新时间 : 2025/1/27 7:19:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第八讲 最大公因数和最小公倍数(一)

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互质数：如果两个数的最大公因数是1，那么这两个数叫做互质数。

求几个数的最大公因数和最小公倍数，通常用短除法和分解质因数的方法。即先分解质因数，然后将其公有的质因数相乘，则为它们的最大公因数；将公有的质因数和各自独有的质因数连乘，其积为最小公倍数。

精典例题

例1：用短除法计算：（1）(54,90),[54,90] (2)(45,75,90)

【分析】求最大公因数可用列举法，分解质因数法，小数缩倍法，大减小法，短除法。 求最小公倍数可用列举法，分解质因数法，大数扩倍法，短除法。 (54,90)=2×3×3=18,

[54,90]= 2×3×3×3×5=270 (45,75,90)= 3×5=15

例2:利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数。 (1)144和250 （2）240、80和96

【分析】分解质因数法，最大公因数=公有质因数乘积，最小公倍数=公有质因数×独有质因数。

（1）144=2×2×2×2×3×3

250=2×5×5×5

（144，250）=2 【144，250】=2×2×2×2×3×3×5×5×5=18000 （2）240=2×2×2×2×3×5

80=2×2×2×2×5 96=2×2×2×2×2×3

（240，80，96）=2×2×2×2=16

【240，80，96】=2×2×2×2×3×5×2=480.

例3:利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数。

【分析】辗转相除法适用于大数并且无法估计时。先大÷小，再除数÷余数，直到能整除，除数为最大公因数。

（1）377和221 (2)511和1214

（1）377÷221=1……156 （2）1214÷511=2……192 221÷156=1……65 511÷192=2……127 156÷65=2……26 192÷127=1……65 65÷26=2……13 127÷65=1……62 26÷13=2 65÷62=1……3 （377，221）=13 62÷3=20……2 3÷2=1……1 2÷1=2

（511，1214）=1 例4：计算（1573,1547,1859）。

1

【分析】大数且无法估计，且很接近，先算两个数的，再求与第三个数的最大公因数。 1573÷1547=1……26 1547÷26=59……13

26÷13=2 （1573，1547）=13 1859÷13=143 （13，1859）=13

（1573,1547,1859）=13

例5:智慧芒师在班上发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生，最后剩下5个苹果，7个梨。请问班里一共有多少名学生？

【分析】设有n名学生，根据题意得：59÷n余5，97÷n余7； 59-5=54能被n整除； 97-7=90能被n整除； N为54和90的公因数，且大于7.

（54，90）=18. 18的因数有：1，2，3，6，9，18. 班上一共有9名或18名学生。 答：班上一共有9名或18名学生。

例6:庆祝六一儿童节，学校买了红花180朵，黄花234朵，白花360朵。把这些花扎成三色的花束，所有花束里的红花朵数相同，黄花朵数相同，白花朵数也相同，至多可扎成几束花正好把花用完?每束中的红花、黄花、白花各几朵?

【分析】要求每束花里，相同的颜色的花朵数相同，则扎成的花束一定能整除180，234，360.最多的花束，为它们的最大公因数。

（180，234，360）=3×3×2=18束。 每束花中红花有180÷18=10朵；

黄花有234÷18=13朵； 白花有360÷18=20朵；

答：最多可以扎18束花，每束花中的红花10朵，黄花13朵，白花20朵。

例7:有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续11个整数之和，还能表示成连续12个整数之和，则所有这样的数中最小的一个数是多少?

【分析】设这个最小的自然数为n.根据等差数数和公式得 N=(a1+a9) ×9÷2可得n能被9整除； N=(a1+a11) ×11÷2可得n能被11整除；

N=(a1+a12) ×12÷2，12个数可分为6对，每对的和为奇数，可得n能被6整除； 最小的一个数就是【9，11，6】=198. 答：最小的一个数是198.

家庭作业

1.计算：（28,72），【28,72】；（28,44,260），【28,44,260】。 （28,72）=2×2=4；

【28,72】=2×2×3×3×7=504； （28,44,260）=2×2=4；

【28,44,260】=2×2×5×7×11×13=20020；

2

2.计算：（36,99），【36,99】；（24,28,42），【24,28,42】。 （36,99）=3×3=9；

【36,99】=3×3×4×11=396； （24,28,42）=2；

【24,28,42】=2×2×2×3×7=168.

3.计算：（1085,1178），【1085,1178】。 1178÷1085=1……93； 1085÷93=11……62； 93÷62=1……31； 62÷31=2；

（1085,1178）=31.

根据（甲，乙）×【甲，乙】=甲×乙得 【1085,1178】=1085×1178÷31=41230.

4.两个数的和为70，它们的最大公因数是7，这两个数的差是多少?

【分析】设A=7a,B=7b。得7a+7b=70,a+b=10.因为a与b互质，10=1+9=3+7. A=1×7=7; 3×7=21 B=9×7=63; 7×7=49

两数的差63-7=56或49-21=28. 答：这两个数的差是56或21.

5.用一个数去除30, 60, 75，都能整除，这个数最大是多少? 【分析】这个数最大是（30，60，75）=15. 答：这个数最大是15.

6.有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯。问:下一次既响铃又亮灯是几点钟?

【分析】每次亮灯时间是9的倍数，同时整点即经过60分钟响一次铃，说明响铃时间是60的倍数。从12点起，下一次既响铃又亮灯是9和60的最小公倍数。

【9，60】=180分钟=3时。12时加3点，下午三点 答：下一次既响铃又亮灯是下午3点钟

7.将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少可以剪出多少块正方形？

【分析】要使正方形块数最少，则正方形要最大，正方形边长是90和42的最大公因数。 边长最大是（90，42）=6； 剪出：（90÷6）×（42÷6）=15×7=105块。 答：至少剪出105块正方形。

8.小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖，3个水果糖。请问小高把糖分给了多少个朋友?

【分析】设有n个小朋友，根据题意得：62÷n余2，75÷n余3； 62-2=60能被n整除； 75-3=72能被n整除；

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