内容发布更新时间 : 2024/5/4 23:30:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

Mathematica在量子谐振子的应用

杨宇轩 南漳县第二中学

摘要：本文使用数值计算的方法,解量子力学中的谐振子的薛定谔方程，得到波函数和能量本正值间的关系。 关键词: 量子谐振子；数值计算；能量本征值；波函数；Mathematica 引言

在自然界中存在大量的振动现象。经典物理中，复杂的振动系统往往可以分解为若干个简单的简谐振动，而这些做简谐振动的系统就是具有深刻意义的谐振子系统。因此对于经典物理，对于谐振子的研究形成了振动理论的大部分内容。同样地，在量子力学的力学系统中一个简单而有意义的例子是谐振子。谐振子对于普遍理论有重要的意义，因为它是形成辐射理论的基础。在普遍理论中，对于谐振子动力学方程的求解最终归结为求解二阶线性微分方程。经典理论中对于谐振子的求解是非常容易的，然而，在量子力学中，谐振子的求解就是求解谐振子的薛定谔方程；对于薛定谔方程的求解却并不容易，需要借用特殊函数才能求解。本文将采用数值计算的方法，通过波函数的自然条件，分析得出一维谐振子的能量本正值应当满足的条件。

[1-3]

谐振子的薛定谔方程

考虑一个作一维小振动的粒子（线性振子），该粒子的势能为：

1m?2x2 （1） 2该振子的哈密顿量

[4]

?为：H?2?p2m[4]

?m?2x22 （2）

可以得到谐振子定态薛定谔方程

?22m?2x2??]??E?为：[?2m2[4]

（3）

通过求解数学物理方程以及一些特殊函数，可得到谐振子的波动方程为： ?nm?1?()4??12n!ne?m?2?x2Hn(xm??) （4）

列出，Hn的前五项：

[5]

H0(?)?1H1(?)?2?H2(?)?4?2?2H3(?)?8?3?12?2H4(?)?16?4?48?2?12H5(?)?32?5?160?3?120?由，公式（4）、（5），我们可以看出，对于波函数及其一阶导数满足：

（5）

?(0)?0 当n?2k （8） ?n(0)?0 当n?2k?1 （7） ?n其中，k?0,1,2,3...

谐振子的能量的数值分析

通过化简，谐振子的能量本征值方程，可以写为：

[5]

d2??(?2?K)?2d?经过求解，我们得到 K（9）其中，??xm??；K?2E??。

?2n?1 n?0,1,2,3... （10）

下面，将通过数值计算说明由波函数的自然条件K必须取奇数。

由公式（7）、（8），可以确定波函数需要满足的初始条件。在此，不妨取： 当n?2k时 ?n(0)?(0)?0当n?2k?1时，?n(0)?0?(0)?1 ?1;?n;?n，

为了说明问题，由公式（9）直接使用数值计算的方法，直接得到波函数图象。将K的值保留到6位有效数字。

当取K?n=0.9，K=0.999999，K=1.000001，分别得到?n(?)??图像为：

105246810??5?10 Figure 1 K=0.9

10?n5246810??5?10 Figure 2 K=0.999999

10?n5246810??5?10 Figure 3 K=1.1

10?n5246810??5?10 Figure 4 K=1.000001

从Figure 1-4可以看出，在K从小于1变化到大于1的过程，波函数在较大的?值

处，图像尾部会发生翻转；并且，从图中也可以看到，虽然在大于（小于）1范围K的取值不同，波函数图像会有变化，但是波函数图像的整体趋势是一样的。当K的值与1越接近，波函数在较大的?值处越接近0。因此有理由相信，在K取值不断的逼近1时，我们定能得到在较大?处趋于零的波函数，这正是波函数的标准条件所要求的。

当选择K=3,5时，也可以发现这样的规律。

?n0.60.40.212345??0.2?0.4 Figure 5 K=2.9

?n0.60.40.212345??0.2?0.4 Figure 6 K=2.999999