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第十六章 二次根式

【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如a?0(a?0)的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。

【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。

例1 下列各式（(1)115(2)?5(3)?x2?2(4)4(5)(?3)2(6)1?a(7)a2?2a?1 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋

1

x-2

有意义的x的取值范围是（ ） A．x≥0 B．x≠2 C．x>2 D．x≥0且x≠2．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 例3 若y=x?5+5?x+2009，则x+y= 练习1使代数式

x?3x?4有意义的x的取值范围是

练习2若x?1?1?x?(x?y)2，则x－y的值为 例4 若a?2?b?3?0，则 a2?b= 。

例5 在实数的范围内分解因式：X4

- 4X2

+ 4= ________ 例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A、a2

+b2

=a2

+b2

； B、（a2

+b2

）2

=a2

+b2

；

C、（a +b ）2= a2+b2； D、（a—b）2 =a—b；

【知识点2】二次根式的性质：

（1）二次根式的非负性，a?0(a?0)的最小值是0；也就是说a（）是一个非负

数，即a?0(a?0)。

注：因为二次根式a?0(a?0)表示a的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如

若a?b?0，则a=0,b=0；若a?b?0，则a=0,b=0；若a?b2?0，则a=0,b=0。 精品文档

（2）(a)2?a（

） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非

负数。注：二次根式的性质公式(a)2?a（

）是逆用平方根的定义得出的结论。上

面的公式也可以反过来应用：若，则a?(a)2，如： 2?(2)2

（3）

例7 a、b、c为三角形的三条边，则(a?b?c)2?b?a?c?____________. 例8 把(2-x)

1x?2的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得 例

9 若二次根式

?2x?6有意义，化简│x-4│-│7-x│

= 。

例10 已知x、y是实数，且满足y=x—6 +6—x +1试求9x—2y的值

例11 若实数a满足a2 +a=0,则有 例12 下列命题中，正确的是（ ）

A．若a>b，则a >b B．若a >a，则a>0

C．若|a|=(b )2，则a=b D．若a2

=b，则a是b的平方根

例13 24n是整数，则正整数n的最小值是（ ）

A、4； B、5； C、6； D、7． 例14 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么a?b?a2的结果是什么？ 例15 已知已知a?1a?7,则a?1a?

b 0

a

练习1. 若y?3x??663?x?x3，则10x＋2y的平方根为_________

练习2 若x2?3?3?x2?2?y试求xy的值。

练习3 若x?y?y2?4y?4?0，求xy的值

专题二 二次根式的乘除

【知识点1】二次根式的乘法法则：a?b?ab(a?0,b?0)。将上面的公式逆向运

用可得：ab?a?b(a?0,b?0) 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根

精品文档 的积。

例1 化简（1）a2b4?a4b2(a≥0，b≥0)＝________．（2）a?1a?__________ 例2 下列各式中不成立的是（ ）

Ａ．(?4)(?x2)?2x

Ｂ．402?242?64?16?32 2Ｃ．??5?9?1????549?1??9

Ｄ．(6?2)(6?2)?4

例3 计算

3xy5????4??y????5x3y?5? 例4若b>0，x<0，化简：?x3?15?x?6?b

【知识点2】二次根式的除法： （1）一般地，对于二次根式的除法规定

ab?ab(a?0,b?0). 【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。分

母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

（2）关键： 把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的根号。 例5 2+3的有理化因式是________； x-y的有理化因式是_________．

-x?1-x?1的有理化因式是_______． 例6 若6?42的整数部分为a，小数部分为b。求a?2b的值

练习：已知11?1的整数部分为a，小数部分为b，试求?11?a??b?1?的值

【知识点3】最简二次根式：

（1）被开放数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。 例7 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）

(A)12 （B）xy （C）32 （D）4a3b2 例8 已知xy?0，化简二次根式x?yx2的正确结果为_________． 精品文档

例9 设a=3?2，b=2?3，c=5?2，则a、b、c的大小关系是

专题三 二次根式的加减

【知识点1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。. 例1在8、1375a、239a、125、2a3a3、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有

例2 若最简根式3a?b4a?3b与根式2ab2?b3?6b2是同类二次根式，求a、b的值．

练习：若最简二次根式233m2?2与n2?14m2?10是同类二次根式，求m、n的值．

【知识点2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，

再将被开放数相同的根式进行合并。 例3 （1）

4?(48?6)?27234 （2）390+5-4140

例4 已知4x2

+y2

-4x-6y+10=0，求（

2x9x+y2xy）-（x21y33x-5xx）的值．

【知识点3】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

?1?22例5计算 （1） ??a?a??????a?1?a?ba?b?2aba? （2） ?a?b?a?b精品文档

3?23?2x3?xy2例6 已知x＝，y＝，求4的值． 3223xy?2xy?xy3?23?2

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