内容发布更新时间 : 2024/6/26 23:15:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2课时 等差数列的性质
学习目标：1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
思考：由上式可得d＝义吗？
[提示] 等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝
2．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋
*
an－a1an－am，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意n－1n－man－a1an－am，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝. n－1n－man－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为
*
pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
思考：若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N)，则am＋an＝ap一定成立吗？ [提示] 不一定．如常数列{an},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( ) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
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*
- 1 -
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
提示：(1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列． (2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列． (3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N都有2an＋1＝an＋an＋2成立． (4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3. 2．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________. 33 [由题意得d＝
*
a8－a515－6
8－5
＝8－5
＝3.
∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]
3．在等差数列 {an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
【导学号：91432150】
180 [因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， 所以a5＝90，
a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.]
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________. 15 [由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16， 又∵a4＝1 ∴a12＝15.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
灵活的设元解等差数列
已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数.
【导学号：91432151】
[解] 法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
?b－a＝c－b＝d－c，?
?a＋b＋c＋d＝26，??bc＝40，
a＝2，
??b＝5，解得?c＝8，
??d＝11
a＝11，
??b＝8，或?c＝5，??d＝2，
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，
??a1＋a1＋d＋a1＋2d＋
得?
?a1＋da1＋2d＝40，?
a1＋3d＝26，
- 2 -
??4a1＋6d＝26，
化简，得?22
?a1＋3a1d＋2d＝40，???a1＝2，
解得?
?d＝3，?
??a1＝11，
或?
?d＝－3，?
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
?????
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，
??4a＝26，化简，得?22
??a－d＝40，
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a＝，??2解得?3
d＝±??2.
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. [规律方法] 1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列． 2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d. 3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d. [跟踪训练] 1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为
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，求这5个数． 9
[解] 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，???8522222
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝，?9?
5a＝5，??整理得?2852
5a＋10d＝.?9?2
解得a＝1，d＝±.
3
21157当d＝时，这5个分数分别是－，，1，，；
33333
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