内容发布更新时间 : 2024/5/21 23:14:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第二章 习题2-1

1.试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limxn=a,则对任何自然数k，有limxn+k=a.

n??n??证：由limxn?a，知???0，?N1，当n?N1时，有

n??取N?N1?k，有???0，?N，设n?N时（此时n?k?N1）有 由数列极限的定义得limxn?k?a.

x??2.试利用不等式A?B?A?B说明：若limxn=a,则lim∣xn∣=|a|.考察数列xn=(-1)n，说明上述结论反之n??n??不成立.

证： 而xn?a?xn?a 于是???0，?N,使当n?N时，有 xn?a?xn?a??即xn?a?? 由数列极限的定义得limxn?a n??n考察数列xn?(?1)，知limxn不存在，而xn?1，limxn?1， n??n??所以前面所证结论反之不成立。 3.利用夹逼定理证明： 1?1?(1)lim?2?2n???n(n?1)证：（1）因为1?2n?=0；(2)lim=0. 2?n??(2n)?n!?1n?1n?n2??2? (2n)2n2nn111???n2n2(n?1)2而且lim12，?0lim?0， n??n2n??n所以由夹逼定理，得

?11lim?2??2n??n(n?1)?2n222?（2）因为0?n!123?1??0. 2?(2n)?2244?，而且lim?0，

n??nn?1nn所以，由夹逼定理得

4.利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.

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(1)xn=

1

，n=1,2,…； n

e?1

(2)x1=2,xn+1＝2xn,n=1,2,…. 证：（1）略。

（2）因为x1?2?2，不妨设xk?2，则

故有对于任意正整数n，有xn?2，即数列?xn?有上界， 又xn?1?xn?xn(2?xn)，而xn?0,xn?2， 所以xn?1?xn?0即xn?1?xn， 即数列是单调递增数列。 综上所述，数列?xn?是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 习题2-2 1.证明：limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a. ※

x?x0证：先证充分性：即证若limf(x)?limf(x)?a，则limf(x)?a. ??x?x0x?x0x?x0由limf(x)?a及limf(x)?a知： ??x?x0x?x0???0,??1?0,当0?x0?x??1时，有f(x)?a??， ??2?0当0?x?x0??2时，有f(x)?a??。 取??min??1,?2?，则当0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??， 而0?x0?x??或0?x?x0??就是0?x?x0??， 于是???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??， 所以limf(x)?a. x?x0f(x)?limf(x)?a, 再证必要性：即若limf(x)?a，则lim??x?x0x?x0x?x0由limf(x)?a知，???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??，

x?x0由0?x?x0??就是0?x0?x??或0?x?x0??，于是???0,???0，当0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??.

f(x)?limf(x)?a 所以lim??x?x0x?x0综上所述，limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

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2.(1)利用极限的几何意义确定lim(x+a),和lime； ?

x?0x?0

1??x(2)设f(x)=?e, x?0,，问常数a为何值时，limf(x)存在.

x?02?x?a,x?0,?2

1x解：（1）因为x无限接近于0时，x?a的值无限接近于a，故lim(x?a)?a.

x?01x22当x从小于0的方向无限接近于0时，e的值无限接近于0，故lime?0. ?x?01x（2）若limf(x)存在，则limf(x)?limf(x)， ??x?0x?0x?0f(x)?lim(x?a)?lim(x?a)?a， 由（1）知lim???x?0x?0x?022所以，当a?0时，limf(x)存在。 x?03.利用极限的几何意义说明limsinx不存在. x???解：因为当x???时，sinx的值在-1与1之间来回振摆动，即sinx不无限接近某一定直线y?A，亦即

y?f(x)不以直线y?A为渐近线，所以limsinx不存在。 x???习题2-3 1.举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量. 解：例1：当x?0时，tanx,sinx都是无穷小量，但由穷大量，也不是无穷小量。 例2：当x??时，2x与x都是无穷大量，但?sinx?cosx（当x?0时，cosx?1）不是无tanx2x?2不是无穷大量，也不是无穷小量。 x例3：当x?0时，tanx是无穷小量，而cotx是无穷大量，但tanxcotx?1不是无穷大量，也不是无穷小量。

2.判断下列命题是否正确： (1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4)有限个无穷小量之和为无穷小量； (5)有限个无穷大量之和为无穷大量；

(6)y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但limxsinx≠∞；

x??(7)无穷大量的倒数都是无穷小量； (8)无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§2.3定理3；

（3）错误，例当x?0时，cotx为无穷大量，sinx是有界函数，cotxsinx?cosx不是无穷大量； （4）正确，见教材§2.3定理2；