内容发布更新时间 : 2024/12/23 13:08:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（1）求k的值；

（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（ 2，1 ）； （3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

【分析】（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；

（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，于是得到PA=1，OA=2，根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ，根据线段垂直平分线的性质得到OP=OQ，根据全等三角形的性质得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到结论；

（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，把P、Q、N（0，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可得到结论．

【解答】解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，m）， ∴m=2，

把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2， 解得：k=1；

（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2， ∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称， ∴直线y=x垂直平分PQ， ∴OP=OQ， ∴∠POA=∠QOB， 在△OPA与△OQB中，

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，

∴△POA≌△QOB， ∴QB=PA=1，OB=OA=2， ∴Q（2，1）； 故答案为：2，1；

（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，

∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），

∴，

解得：，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+， ∴对称轴方程x=﹣

=．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．

24．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC=30°，过点

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B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E，过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F． （1）求证：△ACF∽△DAE； （2）若S△AOC=

，求DE的长；

（3）连接EF，求证：EF是⊙O的切线．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BAC=90°，根据三角形的内角和得到∠ACB=60°根据切线的性质得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据S△AOC=

，得到S△ACF=

，通过△ACF∽△DAE，求得S△DAE=

DH=

，

过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=式列方程即可得到结论；

DE，由三角形的面积公

（3）根据全等三角形的性质得到OE=OF，根据等腰三角形的性质得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，过O作OG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， ∵∠ABC=30°， ∴∠ACB=60° ∵OA=OC， ∴∠AOC=60°， ∵AF是⊙O的切线，

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∴∠OAF=90°， ∴∠AFC=30°， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠DBC=90°， ∴∠D=∠AFC=30° ∴∠DAE=∠ACF=120°， ∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°， ∴∠CAF=30°， ∴∠CAF=∠AFC， ∴AC=CF ∴OC=CF， ∵S△AOC=∴S△ACF=

， ，

∵∠ABC=∠AFC=30°， ∴AB=AF， ∵AB=BD， ∴AF=BD，

∴∠BAE=∠BEA=30°， ∴AB=BE=AF， ∴

=，

∵△ACF∽△DAE， ∴∴S△DAE=

=（

）2=， ，

过A作AH⊥DE于H，

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∴AH=DH=DE，

?DE2=

，

∴S△ADE=DE?AH=×∴DE=

；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°， 在△AOF与△BOE中，∴△AOF≌△BEO， ∴OE=OF，

∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°， ∴∠AFO=∠GFO， 过O作OG⊥EF于G， ∴∠OAF=∠OGF=90°， 在△AOF与△OGF中，∴△AOF≌△GOF， ∴OG=OA，

∴EF是⊙O的切线．

， ，

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，证得△ACF∽△DAE是解题的关键．

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