内容发布更新时间 : 2024/5/12 10:36:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

25．（9分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；

（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；

（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案． 【解答】（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

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∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E． ①如图1，当P点在B点右侧时， 则BQ=x+2，OE=∴y=×

，

?x，即y=（x+1）2﹣，

又∵0≤x≤2，

∴当x=2时，y有最大值为2； ②如图2，当P点在B点左侧时， 则BQ=2﹣x，OE=∴y=×

，

?x，即y=﹣（x﹣1）2+，

又∵0≤x≤2，

∴当x=1时，y有最大值为；

综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；

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【点评】本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE的长是解题关键，又利用了二次函数的性质．

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