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2019年高考数学二轮复习热点聚焦分类突破练习：专题一

第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

C5

1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )

25A.42

B.30 C.29

D.25

2

?5?532C解析 因为cos ＝，所以cos C＝2cos －1＝2×??－1＝－.

2525?5?

C于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－?3?

2×5×1×?－?＝32.所以AB＝42.

?5?答案 A

π?π???

2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈?0，?，tan α＝2，则cos?α－? ＝________.

2?4???π??

0，??，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α， 解析 ∵α∈

2??又sin 2α＋cos2α＝1，所以sin α＝

255

，cos α＝. 55

π?2310?

所以cos?α－?＝(cos α＋sin α)＝. 4?210?答案

310 10

3.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，

BD＝5.

(1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC.

解 (1)在△ABD中，由正弦定理得

2. 5

BDsin∠A＝

ABsin∠ADB，即

52

＝，

sin 45°sin∠ADB所以sin∠ADB＝

由题设知，∠ADB<90°， 所以cos∠ADB＝

1－

223＝. 255

2

. 5

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×所以BC＝5.

4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，4??3

它的终边过点P ?－，－?.

5??5(1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝

5

，求cos β的值. 13

2

＝25. 5

4??3

解 (1)由角α的终边过点P ?－，－?，

5??54

得sin α＝－，

5

4

所以sin(α＋π)＝－sin α＝. 5

4?3?3

－，－?，得cos α＝－， (2)由角α的终边过点P ?

5?5?5由sin(α＋β)＝

512

，得cos(α＋β)＝±. 1313

由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－

5616或cos β＝. 6565

考 点 整 合

1.三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan(α±β)＝

tan α±tan β.

1?tan αtan β(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在△ABC中，

baasin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；

a变形：a＝2Rsin A，sin A＝，

2Ra∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理

在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；