内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:25:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
得a=﹣，
，则g′（x）=﹣
=﹣
，
设g（x）=﹣
由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，
当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax， 得x2﹣ax+2a=0，
得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立， 当x≠2时，a=设h（x）=
，则h′（x）==，
由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，
要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解， 则由图象知4＜a＜8， 故答案为：（4，8）
【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导
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数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键．
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣
）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣B．
（Ⅱ）由余弦定理得b=
，由bsinA=acos（B﹣
），得sinA=
，cosA=
，
）．由此能求出
由此能求出sin（2A﹣B）．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得又bsinA=acos（B﹣∴asinB=acos（=cosBcos∴tanB=
+sinBsin，
．
， =
，
，
，由bsinA=acos（B﹣
），得sinA=
，
）． B﹣=
cosB+
），即
，
sinB=cos（B﹣
）
，得bsinA=asinB，
又B∈（0，π），∴B=
（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=由余弦定理得b=∵a＜c，∴cosA=∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=2cos2A﹣1=，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．
【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，
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考查函数与方程思想，是中档题．
16．（13.00分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；
（Ⅱ）若（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望； （ii）利用互斥事件的概率求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，
从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人． （Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数， 随机变量X的取值为：0，1，2，3，所以随机变量的分布列为：
X P
0
，k=0，1，2，3．
1
2
3
=
；
随机变量X的数学期望E（X）=
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
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设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，
睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A=B∪C，且P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1）， 故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=． 所以事件A发生的概率：．
【点评】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．
17．（13.00分）如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．
（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；
（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．
【分析】（Ⅰ）依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y
轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向
量及
，由
，结合直线MN?平面CDE，可得MN∥平面CDE；
（Ⅱ）分别求出平面BCE与平面平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BC﹣F的正弦值；
（Ⅲ）设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h），求出
，而
为平面ADGE的一个法向量，由直线BP与平
面ADGE所成的角为60°，可得线段DP的长．
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【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以轴，
y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
、、的方向为x
可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），
E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）． 设则又
为平面CDE的法向量，
，不妨令z=﹣1，可得，可得
．
；
又∵直线MN?平面CDE， ∴MN∥平面CDE； （Ⅱ）解：依题意，可得设则设则
为平面BCE的法向量，
，不妨令z=1，可得为平面BCF的法向量，
，不妨令z=1，可得
． ．
，
，
．
因此有cos＜＞=
；
，于是sin＜＞=．
∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为
（Ⅲ）解：设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h）， 可得故|cos＜
＞|=
，而
为平面ADGE的一个法向量， ．
由题意，可得
，解得h=
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∈[0，2]．