内容发布更新时间 : 2024/5/17 12:28:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∴线段DP的长为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．

18．（13.00分）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N*）， （i）求Tn； （ii）证明

=

﹣2（n∈N*）．

【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{an}的通项公式可求；等差数列{bn}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；

（Ⅱ）（i）由等比数列的前n项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{Sn}的前n项和为Tn； （ii）化简整理

，再由裂项相消法证明结论．

【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0．

∵q＞0，可得q=2． 故

．

设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，

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由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16， ∴b1=d=1． 故bn=n；

（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得故

（ii）证明：∵∴

=

==

，

；

==

﹣2．

．

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．

19．（14.00分）设椭圆椭圆的离心率为

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知

．

，点A的坐标为（b，0），且|FB|?|AB|=6

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若

=

sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

【分析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件， 求出a、b的值，再写出椭圆的方程；

（Ⅱ）设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想， 求得直线AB的方程以及k的值． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆由椭圆的离心率为e=∴

=；

，

+

=1（a＞b＞0）的焦距为2c，

又a2=b2+c2，

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∴2a=3b， 由|FB|=a，|AB|=可得ab=6，

从而解得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为

+

=1；

b，且|FB|?|AB|=6

；

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0； ∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2； 又|AQ|=∴|AQ|=由

=

y2，

sin∠AOQ，可得5y1=9y2；

，且∠OAB=

，

由方程组

，消去x，可得y1=，

∴直线AB的方程为x+y﹣2=0； 由方程组

，消去x，可得y2=

，

；

由5y1=9y2，可得5（k+1）=3

两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0， 解得k=或k=∴k的值为或

； ．

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等知识的应用问题，也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题，考查了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力．

20．（14.00分）已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1． （Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；

（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g

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（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣（Ⅲ）证明当a≥e（x）的切线．

；

时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g

【分析】（Ⅰ）把f（x）的解析式代入函数h（x）=f（x）﹣xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；

（Ⅱ）分别求出函数y=f（x）在点（x1，f（x1））处与y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论； （Ⅲ）分别求出曲线y=f（x）在点（

）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，

时，存在x1∈（﹣∞，+∞），

时，方程

logax2）处的切线方程，把问题转化为证明当a≥

x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥

存在实数解．然后利用导数证明即可．

【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=ax﹣xlna，有h′（x）=axlna﹣lna， 令h′（x）=0，解得x=0．

由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x h′（x） h（x）

（﹣∞，0）

﹣ ↓

0 0 极小值

（0，+∞）

+ ↑

∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）； （Ⅱ）证明：由f′（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为由g′（x）=

lna．

，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为

，即

，

．

∵这两条切线平行，故有

两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0， ∴x1+g（x2）=﹣

；

）处的切线l1：

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（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（

，

曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：要证明当a≥的切线， 只需证明当a≥

．

时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）

时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合， 时，方程组

即只需证明当a≥

由①得，代入②得：

，③

因此，只需证明当a≥设函数u（x）=存在零点．

时，关于x1 的方程③存在实数解．

，既要证明当a≥

时，函数y=u（x）

u′（x）=1﹣（lna）2xax，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减， 又u′（0）=1＞0，u′

=

＜0，

．

故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即

由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减， u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）． ∵∴

=

．

下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，

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，故lnlna≥﹣1．