内容发布更新时间 : 2025/2/9 7:09:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第11章 级数

1．写出下列级数的前5项：

(?1)n?1(1) ?；(2) n3n?1?1?3(2n?1)；(3) ?2?42nn?1?1；(4) ?n(lnn)n?2?n! ?nnn?1?解答：(1)

11111?2?3?4?5?； 3333311?31?3?51?3?5?71?3?5?7?9(2) ?????22?42?4?62?4?6?82?4?6?8?10；

(3) (4)

11111?????23456(ln2)(ln3)(ln4)(ln5)(ln6)； 。

11?21?2?31?2?3?41?2?3?4?5?2????34512345所属章节：第十一章第一节 难度：一级

2．写出下列级数的通项：

234(1) 1????357251017????；(2) 261220xxxxx2????；(3)

22?42?4?62?4?6?8

解答：(1) (2) (?1)n?1n； 2n?1n2?1；

n(n?1)(3)

x。

2?42nn2所属章节：第十一章第一节 难度：一级

3．已知级数的部分和Sn，写出该级数，并求和：

2n?1n?1(1) Sn?；(2) Sn?n；

2n解答：(1) 一般项为u1?S1?数为2???n?1n?11?1??,n?2,3,?2，un?Sn?Sn?1?nn?1n(n?1)1，故该级

1n?1，该级数的和为limSn?lim?1；

n??n??nn?2(n?1)n2n?12n?1?111(2) 一般项为u1?S1?，un?Sn?Sn?1?n?n?1?n,n?2,3,2222，故该级数为?1，该nn?12?2n?1级数的和为limSn?limn?1 。

n??n??2所属章节：第十一章第一节 难度：一级

4．根据定义求出下列级数的和：

3n?2n(1) ?；(2) n6n?1?1；(3) ?n?1n(n?2)???n；(4) ?n?1(n?1)(n?2)(n?3)??(n?1?n?2?2n?1?n)

113?21n1n2?3?3； 解答：(1) ??()?()???1126nn?1n?12n?131?1?23?nn?1111111111??(?)?(1??????(2) ?n?2232435n?1n(n?2)n?12n??)?3； 4?n1123111111??[(?)???]?(?)(?)?2??； (3) ?2n?1n?22n?322334n?1(n?1)(n?2)(n?3)n?1??(4)

?(n?1?n?2?2n?1?n)??[(n?2?n?1)?(n?1?n)]

n?1??(n?1111?)???1?2 n?2?n?1n?1?n2?1所属章节：第十一章第一节

难度：一级

5．证明下列级数发散： (1)

n；(2) ?2n?1n?1?2；(3) ?nn?1?n?n????；(4)

1?n?n?1??n?n?1?nn?1nn1??n???n??

?nn1解答：(1) 由于un?发散； ??0，所以级数?2n?12n?12n?1?2n2n(2) 由于un?????0，所以级数?发散；

nn?1n?nn1?n?(3) 由于un?()??0，所以级数???发散； 1?ne1?n?n?1?n(4) 由于un?nn?1n1(n?)nn?nn1n???0，所以级数发散。 ?n(n?1)n(1?1)ne1?n?1?n???nn??n?1n1n?n?1n所属章节：第十一章第一节 难度：一级

6．用比较判别法或极限形式的比较判别法判别下列级数的敛散性：

1(1) ?；(2)

ln(n?1)n?11(6) ?sin；(7)

nn?1???πsin；(3) ?n2n?1?n?1；(4) ?2n?1n?1???n?1?1n(n2?1)?；(5)

1； ?nnn?1?1(a?0)；(8) ?nn?11?aann!ln(1?n)；(9) ?n(a?0) （第9小题是否?nnn?1nn?11应该放到下一题去用比值判别法？建议移至第7大题第7小题）

参考答案：(1) 发散；(2) 收敛；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 当a>1时收敛，当a≤1时发散；(8) 收敛（参考答案有误？）；(9) 当a