内容发布更新时间 : 2024/11/5 13:43:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1 均值不等式的证明方法

首先,我们给出均值不等式. 定理1 设a1,a2,...,an是n个正数，则 上式当且仅当a1?a2?a1?a2?n?an?na1?a2an， ?1?1?

?an时等号成立.

上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,以后简称均值不等式. 我们把

a1?a2?n?an和na1?a2an分别叫做这n个数的算术平均数和几何平均数,分别记做

An?a?和Gn?a?，(1-1)式即为An?a??Gn(a).

下面给出均值不等式的几种证明方法.

1.1 柯西法

当n?2时,由于a1?0,a2?0.有(a1?a2)2?0,得a1?a2?2a1a2. 当n?4时,a1?a2?a3?a4?(a1?a2)?(a3?a4)

?2a1a2?2a3a4?4a1a2a3a4?44a1a2a3a4.

当n?8时,(a1?a2?a3?a4)?(a5?a6?a7?a8)

?44a1a2a3a4?44a5a6a7a8?88a1a2a3a4a5a6a7a8. 这样的步骤重复n次之后将会得到, 令

a1?a1,有

,an?an;an?1?an?2??a2n?a1?a2?n?an?A ?1?2?

nA?(2n?n)A2nA??a1?a22n即

anA2n1?n?(a1?a2an)2An1?n2n

a1?a2?n?an?na1?a2an.

这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.

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1.2 数学归纳法

证法一

当n?2时，不等式显然成立. 假设当n?k时,命题成立. 则当n?k?1时,

AK?1?a1?a2??ak?ak?1,GK?1?k?1a1?a2k?1ak?1.

因为ai具有全对称性，所以不妨设

a1?min{ai|i?1,2,,k,k?1},ak?1?max{ai|i?1,2,,k,k?1}.

显然 a1?AK?1?ak?1,以及?a1?AK?1??ak?1?AK?1??0.于是,

AK?1(a1?ak?1?AK?1)?a1ak?1. 所以

kAK?1(k?1)AK?1?AK?1(a1?a2??ak?1?AK?1) ??kkka??ak?(a1?ak?1?AK?1)k =2?a2ak?1?(a1?ak?1?AK?1). kAK?1?即Akk?1?a2ak(a1?ak?1?AK?1)两边乘以AK?1,得

akAK?1(a1?ak?1?AK?1)?a2K?1ak(a1ak?1)?GK?1.

?1Akk?1?a2从而,有AK?1?GK?1.

所以，由数学归纳法，均值不等式对一切n成立，即 An(a)?Gn?a?. 证法二

当n?2时，不等式显然成立； 假设当n?k时成立.

?1则当n?k?1时，有ak?1?(k?1)Gk?1?k?kGkk?1，于是

1kk?1k?11k2k?1Gk?1?(GkaGak?1?(k?1)Gk?11)?(Gk?)2

ka?(k?1)Gk?1a?(k?1)Gk?111) ?(Ak?k?1). ?(Gk?k?12k2k所以 2k?Gk?1?(k?1)Ak?1?(k?1)Gk?1,所以 Gk?1?Ak?1.

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当且仅当ak?1?Gk?1且k?Gk?ak?(k?1)Gk?1时等号成立. 由数学归纳法知,均值不等式对一切n成立，即 An(a)?Gn?a?．

1.3 詹森不等式法

引理1(Jensen不等式)若f(x)为区间I上的凸函数，对任意xi?I，

?i?0(i?1,2,,n)，且??i?1，则

i?1nf(??ixi)???if(xi) (1-3)

i?1i?1nn成立.

下面利用詹森不等式证明均值不等式.

令 f(x)??lnx,(x?0),易知f(x)在(0,??)是凸函数.由于ai?0(i?1,2,n,,)令

?i?，则由引理1有下式,

1n?ln(a1?a2?na1?a2?n?an1)??(lna1?lna2?n1)?(lna1?lna2?n?lnan).

则

ln(因此

?an1?lnan)?ln(a1a2nan),

a?a?ln(12n?an)?ln(a1a2an),

1n即

a1?a2?n当且仅当a1?a2??an时等号成立.

?an?na1?a2an, 1.4 不等式法

在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式ex?1?x进行推导. 设f(x)?ex，对f(x)?ex应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:

ex?1?x?12?xxe, 2第7页 共20页

其中, x?0, 0???1. 因此, ex?1?x,x?0.当x?0时，等号成立.

下面给出均值不等式的证明过程. 取一组数xk,k?1,2,,n，使?xk?0.令 ak?(1?xk)An.

k?1n则由(1?xk)?exk(xk全为零时,取等号)可得,

1nxk??nGn?(?ak)???(1?xk)An??An?e?An，

k?1k?1?k?1?nn1n1n所以 An(a)?Gn(a).

1.5 几何法

作函数y?e的图像,它是凸曲线，并在点(Gn,e)处作切线y ?aiGnxGnex,可见这条切线Gn在函数的下面(见图1?1)，因此,可以得到e(a1?a2??an)Gn?eai?0（i?1,2,3,Gn,n）.所以

e?(ea1ea2)?()GnGn(nAean)?en，于是n?n，即An?Gn,且从上述证明中可知，

GnGn当且仅当a1?a2??an?Gn时，等号成立.

图1-1

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