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初中数学竟赛辅导资料(1)

数的整除（一）

内容提要：

如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 (如143,1859,1287,908270等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除

如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题

例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。求x,y

解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6. ∵328＋2x9＝567，∴x=3 例2己知五位数1234x能被12整除， 求X

解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，

当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4X能被4整除时，X＝0，4，8 ∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，

但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行

调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习

１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）

①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2．若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3．若五位数12X34能被11整除，那么 X＝__________- 4．当 m=_________时，35m5能被25整除

5．当 n=__________时，9610n能被7整除

6．能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________

8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________

9． 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10． 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 11． 己知五位数1234A能被15整除，试求A的值。 12． 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13．在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）

初中数学竞赛辅导资料（2）

倍数 约数

内容提要

1．两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。

例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2．因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数，7是0的约数。

3．整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，

例如5的倍数有±5，±10，……。

4．整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5．通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7．在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数

若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。 例题

例1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以

应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。 解：列表如下 正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计 正整数 正约数 个数计 2 22 23 24 1，2 1，2，4 2 3 3 32 33 34 1，3 1，3，32 2 3 2×3 22×3 22×32 1，2， 3，6 1，2，3， 4，6，12 1，2，3，4，6， 9，12，18，36 4 6 9 4 1，2， 4，8 1，2，4， 5 8，16 4 1，3， 32，33 1，3，32， 5 33，34 其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如 求360的正约数的个数

解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个） 例2 用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5

∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3 己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N

解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数

∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数

分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。 解： ∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 练习2

1．12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2．分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3． 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4． 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________

5． 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6． 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 7． 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____

8． 一个长方形的房间长丈，宽丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？

9． 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？

初中数学竞赛辅导资料（3）

质数 合数

内容提要

?1?1．正整数的一种分类：?质数

?合数? 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。 合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。 2． 根椐质数定义可知

1) 质数只有1和本身两个正约数， 2) 质数中只有一个偶数2

如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，

如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。 能写成几个质数的积的正整数就是合数。 例题

例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)。求这两个数

解：∵两个质数的和等于奇数，∴必有一个是2．所求的两个质数是2和a－2。 例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解：∵质数m只含两个正约数1和m, 又∵（－1）（－m）=m，∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m. 例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30，求适合条件的a,b,c的值 解：分解质因数：30＝2×3×5

?a?2? 适合条件的值共有： ?b?3?c?5??a?2??b?5?c?3??a?3?a?3?a?5?a?5?????b?2?b?5?b?2?b?3 ?c?5?c?2?c?3?c?2????应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合

条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。 例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。 解：（本题答案不是唯一的）

设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5，

那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数． 即32，33，34，35就是所求的一组数。 本题可推广到n 个。

令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋(n+1)就是所求的合数。 练习3

1．小于100的质数共___个，它们是__________________________________ 2．己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿ 3．己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿ 4． 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿

如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿ 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿

5．两个质数x和y，己知 xy=91,那么x=______,y=______,或x=______,y=______.

?a??6．三个质数a,b,c它们的积等于1990. 那么 ?b?

?c??7． 能整除311＋513的最小质数是＿＿

8．己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。求M及

AB＋的值 BA9．试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。

10．具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？

11．求适合下列三个条件的最小整数：1)大于1 2)没有小于10的质因数 3)不是质数

12．某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿ 13，一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿。