内容发布更新时间 : 2025/1/6 2:54:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
第六讲 列方程解应用题
教学目标
方程作为一种工具对于解题有相当大的帮助，教师在讲本讲前一定要强调方程作为一种数学工具对于解题的重要作用，并引申到代数学在整个数学中的重要意义，教师在讲授本章时除了要介绍解方程的方法时，还应该注重以下几点上对学生能力的培养.
1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量. 2、用代数法来表示各个量：利用“x”表示出所有未知量或变量.
3、找准等量关系，构建方程：明显的等量关系与隐含的等量关系的寻找.
对于每一道题教师应该在讲题过程中突出列方程解应用题的步骤，详细讲授用代数式来表示题目中各种未知量的方法步骤，和寻找等量关系的方法等. 讲授应用题前可以用几条方程让学生练习.
想 挑 战 甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？
吗？
分析：设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍. 16+12-2x=2×(11+9-2x),解得x=6.
Ⅰ、一元一次方程
方程是代数学最基本的模型，而一元一次方程是方程中最简单的种类.
用方程解应用题的主要步骤：1、仔细审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系. 2、设这个量为x，用含x的代数式来表示题目中的其他量. 3、找到题目中的等量关系，建立方程. 4、运用加减法、乘除法的互逆关系解方程. 5、通过求到的关键量求得题目答案.
加减法、乘除法的互逆关系有:
加数=和-另一个加数； 被减数=差+减数； 减数=被减数-差； 乘数=积÷另一个乘数； 被除数=商×除数； 除数=被除数÷商；
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专题精讲
讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了 ——学而思小学奥数讲义组
【例1】（★★）三个连续自然数，其中最小的那个数的5倍等于其他两个数和的2倍，那么，这三个数分别是多少？
分析：设最小的那个数是x，那么另外两个数分别是x+1，x+2，则有： 5x=2（x+1）+2（x+2）
x=6，所以这三个数是6、7、8.
[拓展]已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元.篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元.问：每个篮球多少元？
分析：设每个排球x元，则每个篮球为x+10元，每个足球x+8元，由已知列方程： x+x+8+x+10=35×3， 3x+18=105， 3x=105-18， 3x=87， x=29.
所以x+10=29+10=39.
【例2】（★★★）甲乙丙三位同学每人得到相同数目的果汁糖.甲花了若干天将糖吃完，乙每天吃3块，比甲晚1天吃完；丙每天吃4块，比甲早2天吃完，问：他们每人得到多少果汁糖？
分析：由于题目中乙、丙吃完糖所用的时间均与甲所用的时间有关，故不妨设甲用x天吃完糖.又根据三位同学有“相同”数目的糖建立方程.得： 3（x+1）=4（x-2），
3x+3=4x-8， 4x-3x=3+8， x=11，
由：3（11+1）=36或4（11-2）=36得到他们每人得到36个果汁糖.
【例3】（★★★）张老师购买了一套教师住宅，原计划采取分期付款方式．一种付款方式是开始第一年先付7万元，以后每年付款1万元；另一种付款方式是前一半时间每年付款2万元，后一半时间，每年付款1万5千元．两种付款方式的付款钱数和付款时间都相同．假如一次性付款，可以少付房款1万6千元．现在张老师决定采用一次性付款方式．问：张老师要付房款多少万元?
分析：设分期付款方式的付款时间为2x，则：
7+(2x-1)×1=2x+1.5x， 7+2x-1=2x+1.5x， 6=1.5x． x=6÷1.5， x=4．
将x的值代人方程的右式(也可代入左式)，得：分期付款的付款钱数为2×4+1.5×4=14(万元)．所以，一次性付款的钱数为：14—1.6=12.4(万元)．所以张老师要付房款12.4万元．
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【例4】（★★★）在一条长12米的电线上，黄甲虫在8:20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8:30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的中间?
分析：8：30时黄甲虫距左端1200—15×10=1050(cm)．
设再经过t分钟，红甲虫位于蓝甲虫和黄甲虫的中间(如下图所示)．
此时，红甲虫距蓝甲虫(13-11)t厘米，距黄甲虫[1050-(15+13)t]厘米，可得方程： (13-11)t=1050-(15+13)t，化简可得t=35．
所以从8:30再过35分钟，即9:05时红甲虫恰在蓝甲虫与黄甲虫的中间．
[拓展]（★★★）甲、乙两个班的同学去运河公园春游，但只有一辆车接送．甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班学生开始步行．车到途中某处，让甲班学生下车步行，车立即返回接乙班学生上车并直接开往运河公园．两个班的学生步行速度均为每小时5千米，汽车载学生行驶的速度是每小时50千米．空车行驶时每小时行60千米．问：要使两班学生同时到达运河公园，甲班学生步行了全程的几分之几?
分析：甲、乙两班学生要同时到达运河公园，则这两班学生步行的路程必须相等．如果两班学生各走了x千米，而全程共有s千米时，则行程可用图表示．
可以利用甲班学生步行所用的时间
x与乙班学生坐车的5时间
s?xs?2x及空车返回的时间之和相等的关系来列方程．
6050s?xs?2xx?? 50605
6(s?x)?5(s?2x)?60x
x?11s 7611. 76所以甲班学生步行了全程的
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