内容发布更新时间 : 2024/5/6 15:33:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

已知函数表

例 1、

x -1 1 2

f (x) -3 0 4 求

f (x) 的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解： （1） 由题可知

xk -1 1 2

yk -3 0 4

插值基函数分别为

?x?x1??x?x2?l??x0 (x) ?

?1??x ? 2? ? 1 ? ?? ?

?x0 ? x1 ??x0 ? x2 ? ??1 ?1???1 ? 2? 6

l1(x) ? ?x ? x0 ??x ? x2 ?x ? x? ?x ? 1? ??x ? 2? ? 1??1 ? 2? ? 1 2

?x ? 1??x ? 2? 1 ?0 ??x1 ? x2 ? ?1 ?x?1??x?1?1 l2 (x) ? ?x ? x0 ??x ? x1 ? ? ? x ?1 x ? 1

?x2 ? x0 ??x2 ? x 1 ? ?2 ? 1??2 ?1? 3 ? ?? ?

故所求二次拉格朗日插值多项式为

L2

2 (x) ? ? yklk ?x? k

?0 ? ?3? 1 ?x ?12 ???x 3

? 2?? 0 ? ??? 1 ?x ? 1??x ? 2??? ? 4 ?1 ?x ? 1??x ?16 ??? ? 1 2 ?x ?1??x ? 2?? 4 3? x ? 1??x ?1? ? 5 6 x2 ? 3 7 2 x3

? （2）一阶均差、二阶均差分别为

f ?xf ?x0 ?? f ?x1 ? ?3 0 , x1?? xx? ? 0 ?1?

3

0 ? 1 ?1 2 f ?x1, x2 ?? f ?x1 ?? f ?x2 ? 0 ? 4

x? ? 2

4 1 ? x2 1 ? f ?x, xf ?x3

0 , x1?? f ?x1, x? 4 0 1, x2 ?? 2 ?

5

xx? ? 2 ?

02 ?1 ? 2 6

1

均差表为

xk f (xk ) 一阶 二阶

-1 -3 1 0 3/2 2 4 4 5/6

故所求Newton二次插值多项式为

P

2 ?x? ? f ?x0 ?? f ?x0 , x1??x ? x0 ?? f ?x0 , x1, x2 ??x ? x0 ??x ? x1 ? ? ?3 ? 3 2 ?x ? 1?? 5

6?

x ? 1??x ?1?

? 5 2 3 x ? 7

6

x ? 2 3 2 ? 3x ? 2 ， x ?[0,1] ，试求 f (x) 在[0,

例 2、 设 f (x) ? x

? ? span?1, x?的最佳平方逼近多项式。

解：

若 ? ? span?1, x?，则?0 (x) ? 1 ，?1(x) ? x ，且 ? (x) ? 1 ，这样，有

?1

?0 ,?0 ? ? ?1dx ? 1,

?1

?1,1

0

1? 1 ? ? ?0? fx2dx ,? ?0 ? 3 ? ?1 ?x2 ? 3x ? 2dx?23 ?

2 1

? 6

??0 ,?1 ? ? ??1 ?,?02 ??

f ,? 1 ? ? ? xx ? ? 3 0?x xdx?2 ?dx ,

? 0 1

9 0

4 所以，法方程为?? 1 ?? 1 ? ? ? ? ? ?，经过消元得?

?1 ?? ? 239 ? ?? ?? ? ?? 1 ?

?a0 ? ? 6 ?0 ? ? ? 2 1 ? ? ? ? ? 1

? 1 ? ? a1 ? ? ?

2 3 ? ? 4 ? ?

11 6 再回代解该方程，得到

a1 ? 4 ， a0 ? ?

? a

1

上关于 ? (x) ? 1 ，

1]

1 ? ? 23?

2 ? ?a0 ? ? 6 ? ? ? 3 ? 21

故，所求最佳平方逼近多项式为 S1 (x) ? 11 ? 4x

6

x

佳平方逼近多项式。

解：

若 ? ? span?1, x?，则?0 (x) ? 1 ，?1(x) ? x ，这样，有

例 3、设 f (x) ? e ，? ? ?

*

x ?[0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于? (x) ? 1 ，2

? ? span?1, x?的最