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1 绪论

1.1概述

小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。

从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。

在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。

而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。

全文介绍了小波变换的基本理论，并介绍了一些常用的小波函数，它们的主要性质包括紧支集长度、滤波器长度、对称性、消失矩等，都做了简要的说明。在不同的应用场合，各个小波函数各有利弊。

小波分析在图像处理中有非常重要的应用，包括图像压缩，图像去噪，图像融合，图像分解，图像增强等。文中给出了详细的程序范例，用MATLAB实现了基于小波变换的图像处理。

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1.2 傅立叶变换与小波变换的比较

小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同：

（1）傅立叶变换的实质是把能量有限信号f（t）分解到以{ej?t}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W?j（j=1，2，…，J）和V?j所构成的空间上去。

（2）傅立叶变换用到基本函数只有sin(?t),cos(?t),exp(i?t)，具有唯一性；小波分析用到的函数（即小波函数）则具有不唯一性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断的试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。

（3）在频域中，傅立叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式。例如，sin(?1t)?0.345sin(?2t)?4.23cos(?3t)，但在时域中，傅立叶变换没有局部化能力，即

??无法从信号f(t)的傅立叶变换f(?)中看出f(t)在任一时间点附近的性态。事实上，??f(?)d?是关于频率为?的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。

（4）在小波分析中，尺度a的值越大相当于傅立叶变换中?的值越小。

（5）在短时傅立叶变换中，变换系数S(?,?)主要依赖于信号在[???,???]片段中的情况，时间宽度是2?（因为?是由窗函数g(t)唯一确定，所以2?是一个定值）。在小波变换中，变换系数Wf(a,b)主要依赖于信号在[b?a??,b?a??]片段中的情况，时间宽度是2a??，该时间宽度是随着尺度a变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。

（6）若用信号通过滤波器来结实，小波变换与短时傅立叶变换不同之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽?f与中心频率f无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽?f则正比于中心频率f，即

?fQ??C C为常数

f亦即滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构（Q为滤波器的品质因数，且有

中心频率Q?）。

带宽1.3 小波分析与多辨分析的历史

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小波理论包括连续小波和二进小波变换，在映射到计算域的时候存在很多问题 ，因为两者都存在信息冗余，在对信号采样以后，需要计算的信息量还是相当的大，尤其是连续小波变换，因为要对精度内所有的尺度和位移都做计算，所以计算量相当的大。而二进小波变换虽然在离散的尺度上进行伸缩和平移，但是小波之间没有正交性，各个分量的信息搀杂在一起，为我们的分析带来了不便。

真正使小波在应用领域得到比较大发展的是Meyer在1986年提出的一组小波，其二进制伸缩和平移构成L2(R)的标准化正交基。在此结果基础上，1988年S.Mallat在构造正交小波时提出了多分辨分析的概念，从函数分析的角度给出了正交小波的数学解释，在空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，给出了通用的构造正交小波的方法，并将之前所有的正交小波构造方法统一起来，并类似傅立叶分析中的快速傅立叶算法，给出了小波变换的快速算法——Mallat算法。这样，在计算上变得可行以后，小波变换在各个领域才发挥它独特的优势，解决了各类问题，为人们提供了更多的关于时域分析的信息。

形象一点说，多分辨分析就是要构造一组函数空间，每组空间的构成都有一个统一的形式，而所有空间的闭包则逼近L2(R)。在每个空间中，所有的函数都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间的闭包中的函数则构成L2(R)的标准化正交基，那么，如果对信号在这类空间上进行分解，就可以得到相互正交的时频特性。而且由于空间数目是无限可数的，可以很方便地分析我们所关心的信号的某些特性。

下面我们简要介绍一下多分辨分析的数学理论。

定义：空间L2(R)中的多分辨分析是指L2(R)满足如下性质的一个空间序列?Vj?j?Z： （1）调一致性：Vj?Vj?1，对任意j?Z

j?Zj?Z（2）渐进完全性：IVj??，closeUVj?L2(R) （3）伸缩完全性：f(t)?Vj?f(2t)?Vj?1

（4）平移不变性：?k?Z,?(2?j/2t)?Vj??j(2?j/2t?k)?Vj

（5）Riesz基存在性：存在?(t)?V0，使得?j(2?j/2t?k)|k?Z构成Vj的Risez基。关于Riesz的具体说明如下：

若?(t)是V0的Risez基，则存在常数A，B，且，使得：

2????A?ck?2?2?ck?(t?k)?B?ck?2

22对所有双无限可平方和序列?ck?，即

2?ck?2?c?k?? 2k?Z成立。

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