内容发布更新时间 : 2024/5/19 22:02:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

兰州成功私立中学高中奥数辅导资料

（内部资料）

§12递推数列

1、概念：①、递归式：一个数列{an}中的第n项an与它前面若干项an?1，…，（k?n）an?2，an?k的关系式称为递归式。 ②、递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等。 3、思想策略：构造新数列的思想。 4、常见类型： 类型Ⅰ：??an?1?p(n)an?q(n)(p(n)?0)（一阶递归）

a?a(a为常数）1?其特例为：（1）an?1?pan?q(p?0) （2）an?1?pan?q(n)(p?0)

（3）an?1?p(n)an?q(p?0)

解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ：??an?2?pan?1?qan(p?0,q?0)（二阶递归）

a?a,a?b(a,b为常数）12?解题方法：利用特征方程x2?px?q，求其根?、?，构造an?A?n?B?n，代入初始值求得A,B。

类型Ⅲ：an?1?f(an)其中函数f(x)为基本初等函数复合而成。 解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

例题讲解

1．已知数列{an}满足以下递归关系?

2．已知数列{an}满足?

3．已知数列{an}满足?

4．已知数列{an}满足?

?an?2?3an?1?2an，求通项an。

a?1,a?22?1?an?1?nan?2(n?2)，求通项an。

a?11??an?1?2an?(2n?1)?a1?2?an?1?3an?4，求通项an。

?a1?1，求通项an。

5．由自然数组成的数列{an}，满足a1?1，am?n?am?an?mn，求an。

6．已知数列{an}满足a1?10，an?1?n?1an4（n?1），求an。

n4

7．已知f(x)?求xn。

8．已知数列{an}中，a1?1，an?1?1(1?4an?1?24an)，求an。

16x，且f(x0)?1，方程f(x)?x有唯一解，设xn?f(xn?1)（n?N），a(x?2)2

2?an?an?1，证明an?1（n?2，3，4，…） 9．设正数列{an}满足ann?2

课后练习

1．已知数列{an}满足以下递归关系，求an。 （1）a1?1，an?1?5an?12（n?N）

（2）a1?1，an?1?2an?n?1（n?N）

（3）a1?2，an?1?nan?1（n?N）

n?1

（4）a1?2，an?1?n?1an?2（n?N）

nn

（5）a1?1，Sn?n2an（Sn为前n项和）

（6）a1?10，an?1?410an（n?2,n?N） （7）??an?2?2an?1?3an

a?a?112?

2．已知数列{an}和{bn}中，a1??10，b1??13，且an?1??2an?4bn，bn?1??5an?7bn，求an和bn。

2?1（n?0，1，2，3，4，…），证明xn?N（n?N）。3．已知x0?0，xn?1?5xn?14xn

4．已知数列{an}满足：an?3ncosn(arccos1)，证明an是不能被3整除的整数。

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