内容发布更新时间 : 2024/6/3 20:45:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

一．命题类型 1.数列与函数的综合 2特殊数列 3.数列的性质

4．数学文化与数列的应用 5.新定义数列 6.找规律

7.项和互化的综合问题 8.分奇偶数项的讨论问题 9.数列不等式 知识要点及方法

1．递推数列的概念

如果已知数列{an}的第1项(或前k项)，且任一项an与它的前一项(或前若干项)间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的______________；由递推公式确定的数列叫做递推数列．

2．已知数列的递推关系求通项

一般有三种途径：一是归纳、猜想，二是转化化归为等差、等比数列；三是逐项迭代． 递推数列求通项的特征归纳： (1)累加法：an＋1－an＝f(n). an＋1(2)累乘法：＝f(n).

an

(3)化归法：(常见)an＋1＝Aan＋B(A≠0，A≠1)?an＋1＋λ＝A(an＋λ)；an＋2＝pan＋1＋qan?an＋2＋λan＋1

＝(p＋λ)·(an＋1＋λan)；an＋1＝pan＋p

n＋1

?

an＋1an

n＋1＝n＋1. pp

(4)归纳法：计算a2，a3，a4呈现关于项数2，3，4的规律特征. (5)迭代法：an＋1＝pan或an＋1＝an或an＋1＝pan＋f(n)等. 3.求数列前n项和的基本方法

(1)公式求和法 (2)裂项相消求和法

p

数列{an}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和． (3)倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．

(4)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

(5)分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

(6)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如an＝(－1)f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝100－99＋98－97＋…＋2－1＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

1．数列综合问题中应用的数学思想

(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n}上的函数．

(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．

(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 2．解答数列应用题的步骤

(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．

(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．

(3)求解——求出该问题的数学解．

(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数学应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

2

2

2

2

2

2

n(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系．

二．命题类型分析及防陷阱措施 1.数列与函数的综合 例1. 设函数

是定义在

上的单调函数，且对于任意正数

有

，已知

，若一个各项均为正数的数列满足，其中是

数列A.

的前项和，则数列中第18项（）

B. 9 C. 18 D. 36

【答案】C

【方法规律总结】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前项和之间的关系以及公式

的应用，属于难题.已知

（2）当

时，由

；（4）写出

，求得

求

的一般步骤：（1）当

时，由

求

的值；

的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不

满足则分段表示

练习1. 设函数

的完整表达式

是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已