内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:57:31星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

立体几何大题的解题技巧

——综合提升

【命题分析】高考中立体几何命题特点：

1.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系． 2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

3.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：

“六个距离”：

1两点间距离 d?(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2 2点P到线l的距离d?

3两异面直线的距离d?PQ*uu （Q是直线l上任意一点，u为过点P的直线l法向量）

PQ*uu （P、Q分别是两直线上任意两点u为两直线公共法向量）

4点P到平面的距离 d?

PQ*uu（Q是平面上任意一点，u为平面法向量）

5直线与平面的距离【同上】 6平行平面间的距离【同上】

“三个角度”：

v1v2?1异面直线角【0，】cos?= 【辨】直线倾斜角范围【0，?）

2v1v22线面角 【0，

3二面角 【0，?】cos???vn?】sin?=cosv,n? 或者解三角形 2vnn1n2n1n2 或者找垂直线，解三角形

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题

例1（福建卷）如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． （Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD； （Ⅱ）求二面角A?A1D?B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 B 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力．

A 解：解法一：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

Q△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

A

C D

A1C1B1

A1F C Q正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

?AO⊥平面BCC1B1．

O B

D C1B1

连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为

BC，CC1的中点， ?B1O⊥BD， ?AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， ?AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．

?AF⊥A1D， ?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．

在△AA1D中，由等面积法可求得AF?45，

5又QAG?1AB1?2， ?sin∠AFG?AG?2?10．

2AF4545所以二面角A?A1D?B的大小为arcsin10．

4（Ⅲ）△A1BD中，BD?A1D?5，A1B?22，?S△ABD?6，S△BCD?1．

1在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3． 设点C到平面A1BD的距离为d．

由VA?BCD?VC?ABD，得1S△BCDg3?1S△ABDgd，

11331?d?3S△BCD2．

?S△A1BD2?点C到平面A1BD的距离为2．

Q△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

2解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

Q在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

?AD⊥平面BCC1B1．

uuurruuuuruuu取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐

标系，则B(1，0，0)，D(?112，0)， ，，0)，A1(0，0，3)，B1(1，2，3)，A(0，uuuruuuruuur，?AB1?(1，2，?3)，BD?(?210)BA，2，3)． ，，1?(?1z A F C O B x D A1uuuruuuruuuruuurQAB1gBD??2?2?0?0，AB1gBA1??1?4?3?0， uuuruuuruuuruuur?AB1⊥BD，AB1⊥BA1．

?AB1⊥平面A1BD．

C1B1

y （Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)． uuuruuuruuuruuurAD?(?11，，?3)，AA1?(0，2，0)． Qn⊥AD，n⊥AA1，

uuur????x?y?3z?0，??y?0， ?ngAD?0，??????uuur??2y?0，?x??3z．??ngAA1?0，?令z?1得n?(?3，01)，为平面A1AD的一个法向量．