内容发布更新时间 : 2024/12/23 18:34:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(第1题)
b.矩形判定的应用
2.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证: (1)四边形OCED是矩形; (2)OE=BC.
(第2题)
c.矩形性质和判定的应用
3.如图①,在△ABC中,AB=AC,点P是BC上任意一点(不与B,C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,BD⊥AC.垂足分别为E,F,D.
(1)求证:BD=PE+PF.
(2)当点P在BC的延长线上时,其他条件不变.如图②,BD,PE,PF之间的上述关系还成立吗?若不成立,请说明理由.
(第3题)
菱形的综合性问题 a.菱形性质的应用
4.已知:如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC.
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?并说明理由.
(第4题)
b.菱形判定的应用
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=53,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t s(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF.
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由. (3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
(第5题)
c.菱形性质和判定的应用
6.(1)如图①,纸片?ABCD中,AD=5,S?ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE′的位置,拼成四边形AEE′D,则四边形AEE′D的形状为( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
(2)如图②,在(1)中的四边形纸片AEE′D中,在EE′上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE′F′的位置,拼成四边形AFF′D.
①求证:四边形AFF′D是菱形;
②求四边形AFF′D的两条对角线的长.
(第6题)
正方形的综合性问题 a.正方形性质的应用
7.如图,在正方形ABCD中,G是BC上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于点F,探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由.
(第7题)
b.正方形判定的应用
8.两个长为2 cm,宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①),CE=2 cm,将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角,将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度.
(1)当旋转到顶点D,H重合时(如图②),连接AE,CG,求证:△AED≌△GCD; (2)当α=45°时(如图③),求证:四边形MHND为正方形.
(第8题)
答案
专训1
1.解:由折叠的性质知∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,∴∠HEF=∠HEM+∠1
FEM=×180°=90°.同理可得∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴四边形EFGH为矩形.∴
2HG∥EF,HG=EF.∴∠GHN=∠EFM.又∵∠HNG=∠FME=90°,∴△HNG≌△FME.∴HN=MF.又∵HN=HD,∴HD=MF.∴AD=AH+HD=HM+MF=HF.∵HF=EH2+EF2=32+42=5(cm),∴AD=5 cm.
点拨:此题利用折叠提供的角相等,可证明四边形EFGH为矩形,然后利用三角形全等来证明HN=MF,进而证明HD=MF,从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF,进而得解,体现了转化思想.
(第2题)
2.解:PE+PF=AB.理由:过点P作PG⊥AB于G,交BD于O,如图所示. ∵PG⊥AB,PF⊥AC,∠A=90°,∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°.∴四边形AGPF是矩形.∴AG=PF,PG∥AC.∴∠C=∠GPB.又∵BD=DC,∴∠C=∠DBP.∴∠GPB=∠DBP.∴OB=OP.∵PG⊥AB,PE⊥BD,
∴∠BGO=∠PEO=90°. 在△BGO和△PEO中, ∠BGO=∠PEO,??
?∠GOB=∠EOP, ??OB=OP,
∴△BGO≌△PEO.∴BG=PE. ∵AB=BG+AG=PE+PF.
3.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD. ∴BE∥DF.又∵BE=DF, ∴四边形BFDE是平行四边形.
∵DE⊥AB, ∴∠DEB=90°.
∴四边形BFDE是矩形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AD=BC. ∴∠DFA=∠FAB.
由(1)易得△BCF为直角三角形, 在Rt△BCF中,由勾股定理,得 BC=CF2+BF2=32+42=5, ∴AD=BC=DF=5. ∴∠DAF=∠DFA. ∴∠DAF=∠FAB, 即AF平分∠DAB.
4.(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC.∴∠ABE=∠ECF. 又∵点E为BC的中点,∴BE=CE. 在△ABE和△FCE中, ∠ABE=∠FCE,??
∵?BE=CE, ??∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△FCE.∴AB=CF.
又AB∥CF,∴四边形ABFC为平行四边形.∴AE=EF.∵∠AEC为△ABE的外角,∴∠AEC=∠ABC+∠EAB.又∵∠AEC=2∠ABC,∴∠ABC=∠EAB.∴AE=BE.∴AE+EF=BE+EC,即AF=BC.∴四边形ABFC为矩形.
(2)解:∵四边形ABFC是矩形,
DF
∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形,∴CF=CD==2.∴AC=42-22=23.∴S
2
四边形ABFC
=23×2=43.
专训2
1.(1)证明:∵AE∥CD,CE∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形,又∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=BD=AD,∴平行四边形ADCE是菱形.