内容发布更新时间 : 2024/5/21 12:30:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题课一 带电粒子在匀强磁场中的运动

一、带电粒子在直线边界磁场中的运动 1.基本问题

【例题1】如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为30.求: (1)电子的质量m

(2)电子在磁场中的运动时间t

0

m?2qBdvt?30?dT?3603v

【小结】处理带电粒子在匀强磁场中的运动的方法： 1、 找圆心、画轨迹（利用F⊥v或利用弦的中垂线）； 2、 定半径（几何法求半径或向心力公式求半径）

s）

3600v注意：带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。

① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等； ② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

3、 求时间（t=

×Ｔ或t=

2.应用对称性可以快速地确定运动的轨迹。

【例题2】如图—所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比

?q。 m【审题】本题为一侧有边界的匀强磁场，粒子从一侧射入，一定从边界射出，只要根据对称规律①画出轨迹，并应用弦切角等于回旋角的一半，构建直角三角形即可求解。

【解析】根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图9-5所示，找出圆心A，向x轴作垂线，垂足为H，由与几何关系得：

?? Rsin1L 22 ①

带电粒子在磁场中作圆周运动，由

mv0 qv0B?

R 解得R?mv0 qB ②

①②联立解得

q2v0sin?? mLB【总结】在应用一些特殊规律解题时，一定要明确规律适用的条件，准确地画出轨迹是关键。

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二、带电粒子在圆形边界磁场中的运动

【例题3】电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图9-6所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？

【审题】本题给定的磁场区域为圆形，粒子入射方向已知，则由对称性，出射方向一定沿径向，而粒子出磁场后作匀速直线运动，相当于知道了出射方向，作入射方向和出射方向的垂线即可确定圆心，构建出与磁场区域半径r和轨迹半径R有关的直角三角形即可求解。

【解析】如图9-7所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。

mv2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有：eU?

2v2对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有：evB?m

R由图可知，偏转角θ与r、R的关系为：tan联立以上三式解得：B??r? 2R12mU?tan

re2【总结】本题为基本的带电粒子在磁场中的运动，题目中已知入射方向，出射方向要由粒子射出磁场后做匀速直线运动打到P点判断出，然后根据第一种确定圆心的方法即可求解。

三、带电粒子在磁场中运动的极值问题 寻找产生极值的条件： ① 直径是圆的最大弦；

② 同一圆中大弦对应大的圆心角； ③ 由轨迹确定半径的极值。

【例题4】如图半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×10m/s的α

2

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粒子；已知α粒子质量为m=6.6×10kg，电量q=3.2×10c，则α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？

【审题】本题α粒子速率一定，所以在磁场中圆周运动半径一定，由于α粒子从点O进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏向角θ不同，要使α粒子在运动中通过磁场区域的偏转角θ最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长最大，因而圆形磁场区域的直径即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦，依此作出α粒子的运动轨迹进行求解。 【解析】α粒子在匀强磁场后作匀速圆周运动的运动半径：R?/

-27-19

mv?0.2m?2r qBα粒子从点O入磁场而从点P出磁场的轨迹如图圆O所对应的圆弧所示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角θ。

由上面计算知△SOP必为等边三角形，故θ＝60° 此过程中粒子在磁场中运动的时间由粒子在磁场中运动的最长时间。

【总结】当速度一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

四、带电粒子在磁场中运动的多解问题

【例题5】长为L，间距也为L的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，今有质量为m、带电量为q的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。欲使离子不打在极板上，入射离子的速度大小应满足的条件是 ( )

A.v?C.v?即为

/

qBL5qBL B.v? 4m4mqBLqBL5qBL D. ?v?m4m4m解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某

值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有： r12＝L2+（r1-L/2）2得r1=5L/4，

又由于r1=mv1/Bq得v1=5BqL/4m，∴v>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mv2/Bq=L/4

得v2＝BqL/4m

∴v2

【总结】本题只问带电粒子在洛伦兹力作用下飞出有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，

o

它可能穿过去了，也可能转过180从入射界面这边反向飞出，于是形成多解，在解题时一定要考虑周全。

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【练习】如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v0的带正电粒子，v0与ad边的夹角为30°.已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力. (1)求要使粒子能从ab边射出磁场，v0的大小范围.

(2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少?在这种情况下，粒子将从什么范围射出磁场?

习题课二 带电粒子在复合场中的运动

一、带电粒子在有界的相互分离的电场和磁场中运动

【例题1】如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E.一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出

x轴时，它与点O的距离为L.求此粒子射出的速度v和在此过程中运动的总

路程s(重力不计).

解析：由粒子在磁场中和电场中受力情况与粒子的速度可以判断粒子从O点开始在磁场中匀速率运动半个圆周后进入电场，做先减速后反向加速的匀变直线运动，再进入磁场，匀速率运动半个圆周后又进入电场，

如此重复下去.

粒子运动路线如图所示，有L=4R ① 粒子初速度为v，则有qvB=mv2/R ②， 由①、②可得v=qBL/4m ③.

设粒子进入电场做减速运动的最大路程为L，加速度为a, 则有v2=2aL ④， qE=ma, ⑤ 粒子运动的总路程s=2?R+2L. ⑥

由①、②、③、④、⑤、⑥式，得:s=?L/2+qB2L2/(16mE).

【总结】把复杂的过程分解为几个简单的过程，按顺序逐个求解，或将每个过程所满足的规律公式写出，结合关联条件组成方程，再解方程组，这就是解决复杂过程的一般方法分布和时间进程重组，便可理解回旋加速器原理。

【练习】如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求： （1）中间磁场区域的宽度d；

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n

个过程的分析找出一般规律，推测后来的过程，或对整个过程总体求解将此题中的电场和磁场的空间

（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。

【分析】：作出所有的圆弧，体现对称性。标出所有的圆心、半径。利用两个圆的半径相等的条件，不难看到，粒子在左边磁场中的偏转角度均为60°，在右侧磁场中的偏转角度为300°。这样，题中所问的两个问题就迎刃而解了。

二、带电粒子在相互叠加的电场和磁场中的运动

【例题】如图所示，坐标系xOy位于竖直平面内，在该区域内有场强E=12N/C、方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场．一个质量m=4×10

?5y B ? E x P kg，电量q=2.5×10

?5C带正电的微粒，在xOy平面内做匀

速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点．取g=10 m／s2，求： （1）微粒运动到原点O时速度的大小和方向； （2）P点到原点O的距离；

解析：（1）微粒运动到O点之前要受到重力、电场力和洛伦兹力作用，在这段时间内微粒做匀速直线运动，说明三力合力为零．由此可得

(Bqv)2?(qE)2?(mg)2

代入数据解得 v=10m/s

速度v与重力和电场力的合力的方向垂直。设速度v与x轴的夹角

y v s1 O s θ 2? P E x ??为θ，则 tanFE mg代入数据得 tan??3，即θ=37° 4F合

（2）微粒运动到O点后，撤去磁场，微粒只受到重力、电场力作

用，其合力为一恒力，且方向与微粒在O点的速度方向垂直，所以微粒做类平抛运动，可沿初速度方向和合力方向进行分解．

设沿初速度方向的位移为s1，沿合力方向的位移为s2，则 因为 s1?vt

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221FE?(mg)2s2?t

2mOP?s1 cos?联立解得P点到原点O的距离 OP=15m

【总结】以带电粒子在复合场中的运动为背景，涉及到电场力、洛伦兹力、矢量的合成与分解、牛顿运动定律等多方面知识。解决这类题的关键是，正确分析带电粒子在O点的受力情况，用电场力和重力的合力替代两个场力，将问题转化为带电粒子的类平抛运动。

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