内容发布更新时间 : 2024/5/1 21:54:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
二 平行线分线段成比例定理
互动课堂
重难突破
一、平行线分线段成比例定理
1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
图1-2-1
2.符号语言表示:如图1-2-1所示,a∥b∥c,则 3.定理的证明:若
ABDE=. BCEFAB是有理数,则将AB、BC分成相等的线段，把问题转 BC化为平行线等分线段，达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程还需到高等数学中实现.
4.定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.
5.定理比例的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图121):如果已知是a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如
上上上上左左ABDECBFE=,=等，可以归纳为=, =, = 等，便于记忆. ACDFCAFD下下全全右右二、平行线分线段成比例定理的推论
1.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
2.符号语言表示:如图1-2-2所示，a∥b∥c,则
ADAEDE= =. ABACBC
图1-2-2
3.推论的证明:直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好，实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形，如图1-2-3.
图1-2-3
三、刨根问底
问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？
探究:我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.(如图1-2-4，若l1∥l2∥l3，AB＝BC，则DE =EF)
图1-2-4 图1-2-5
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1-2-5,若l1∥l2∥l3,则
ABDE=. BCEF比较这两个定理可知:当截得的对应线段成比例,比值为1时,则有截得的线段相等,即当
ABDE= =1时,则有AB = BC,DE =EF,因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段BCEF定理的扩充,而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例.平行线等分线段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.
在使用平行线分线段成比例定理时,要特别注意“对应”的问题，如图1-2-5中的线段AB、BC、AC的对应线段分别是DE、EF、DF,由平行线分线段成比例定理有
BCEFABDEBCEFABBCAB=,=, =.根据比例的性质,还可以得到=, ABDEACDFACDFDEEFDEACBCAC=, =. DFEFDFABDE为了掌握对应关系，可根据对应线段的相对位置特征，把=说成是“上比全等
ACDFABBC于上比全”，把=说成是“左比右等于左比右”，使用这种形象化语言，不仅能够
DEEF按要求或需要准确地写出比例式，而且也容易检查比例式是否正确.
问题2 证明线段相等的问题较常见，而证题的方法随着所学知识的不断积累也逐渐增多.那么证明线段相等通常有哪些方法？我们现在学习的平行线分线段成比例定理及推论能发挥什么作用？
探究:根据题设的不同，证明线段相等可以利用全等三角形的对应线段相等；等腰三角形、等腰梯形的两腰相等；平行四边形的对边相等，对角线互相平分；正方形、矩形、等腰梯形的对角线相等；关于直线成轴对称或关于点成中心对称的线段相等，以及线段的垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理等等.现在学了线段成比例的有关定理，也常用来证两线段相等，其方法是利用条件中有(或添作)平行线或相似三角形，列出几组比例式进行比较而得出. 活学巧用
【例1】如图1-2-6,直线l1∥l2∥l3,直线m、n分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C和D、E、F,m、n交于O点,AB =2,AC =5,EF =3,求DE.
图1-2-6
思路解析:要求DE的长,可以结合条件,直接利用“平行线分线段成比例”定理. 解:∵l1∥l2∥l3,AB =2,AC =5,EF =3, ∴
ABDE2DE=, =. ACDF5DE?3∴DE =2.
2
【例2】如图1-2-7所示，DE∥BC，EF∥DC，求证:AD=AF·AB.
图1-2-7
思路解析:要证AD=AF·AB，只要证
2
AFAD=，由于AF\\AD、AB在同一直线上，因此ADAB上式不能直接用定理证，于是想到用过渡比.从基本图形中立即可找到过渡比为
AE. AC证明:∵DE∥BC，∴成比例). ∵EF∥DC,∴
2
ADAE= (平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段ABACAFAEAFAD=.∴=, ADACADAB即AD=AF·AB.
【例3】如图1-2-8所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延
长线交于F，且BD =DC，求证:AE·FB =EC·FA.
图1-2-8
思路解析:本题只要证
AEFAAEFA=即可.由于与没有直接联系，因此必须寻找过ECFBECFB渡比将它们联系起来，因此考虑添加平行线进行构造.
证明:过A作AG∥BC，交DF于G点. ∵AG∥BD,∴
FAAG=. FBBD