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第04节 函数奇偶性与周期性

A基础巩固训练

1.【2017辽宁沈阳东北育才学校模拟】若函数f?x??x?R?是奇函数，函数g?x??x?R?是偶函数，则

A. 函数f?x??g?x?是奇函数 B. 函数f?x??g?x?是奇函数 C. 函数f??g?x???是奇函数 D. g??f?x???是奇函数 【答案】B

f?x??x2,g?x??sinx， g??f?x???是偶函数，故选项D不正确；综上，正确的只有选项

B,故选B.

2.【2017浙江模拟】已知f(x)，g(x)都是偶函数，且在0,???上单调递增，设函数

?F(x)?f(x)?g(1?x)?f(x)?g(1?x)，若a?0，则（ ）

A.F??a??F?a?且F?1?a??F?1?a? B.F??a??F?a?且F?1?a??F?1?a? C.F??a??F?a?且F?1?a??F?1?a? D.F??a??F?a?且F?1?a??F?1?a? 【答案】A.

【解析】由题意得，F(x)???2g(1?x),f(x)?g(1?x)，

2f(x), f(x)?g(1?x)?∴F(?a)???2g(1?a),f(a)?f(?a)?g(1?a)?2g(1?a),f(a)?g(1?a)，F(a)??，

?2f(?a), f(a)? f(?a)?g(1?a)?2f(a), f(a)?g(1?a)综上可知F(?a)?F(a)，同理可知F(1?a)?F(1?a)，故选A.

2x?13.若函数f(x)?x是奇函数，则使（fx）?3成立的x的取值范围为( )

2?a（A）( 【答案】C

) (B)(

（0,1）（1,??）) （C） （D）

2x?12?x?1???x,所以，(1?a)(2x?1)?0,a?1，【解析】由题意f(x)??f(?x)，即x2?a2?a2x?12x?1f(x)?x,由f(x)?x?3得，1?2x?2,0?x?1,故选C.

2?12?14.【2017课标II】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x?(??,0)时，f(x)?2x3?x2, 则f(2)? ________． 【答案】12

【解析】f(2)??f(?2)??[2?(?8)?4]?12

5.【2017山东】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x?[?3,0] 时,f(x)?6,则f(919)= . 【答案】

【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,f?x?是周期函数,且T?6,所以

?xf(919)?f(6?653?1)?f(1) ?f(?1)?6.

B能力提升训练

ax?1?1?x??loga?1．【2017辽宁重点中学作协体模拟】若函数f?x??x，?（a?0， a?1）a?11?x??fm?， m???1,1?，则f??m??（ ） ??nA. B. ?n C. 0 D. 不存在 【答案】B

xa?x?1?1?x?1?a?1?x?【解析】因为f??x???x?loga???loga?????f?x?，所以函数xa?1?1?x?1?a?1?x?y?f?x?是奇函数，由f?m??n可知f??m???f?m???n，应选答案B。

2．【2017山西孝义模拟】已知函数y?f?x?,满足y?f??x?和y?f?x?2?是偶函数,且

f?1??A. ?3,设F?x??f?x??f??x?,则F?3?? ( )

?2?4? B. C. ? D. 333【答案】B

?x2?3x(x?0) 3.已知函数f(x)??为奇函数，则f(g(?1))? ．

?g(x)(x?0)【答案】-28

【解析】由函数是奇函数，?f??x???f?x?，当x?0时，?x?0?f??x??x?3x

2?f?x???x2?3x?g?x???x2?3x?f(g(?1))?f??4???16?12??28

.

（x＋1）＋sin x4.设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m.则M＋m＝________.

x2＋1【答案】2

2

2x?sinxx2?2x?1?sinx2x?sinxg(x)??1?【解析】f(x)?，令，则

x2?1x2?1x2?1g(－x)＝－g?x?，

∴g?x?为奇函数，由奇函数图象的对称性知g?x?max＋g?x?min＝0，故M＋m＝2.