内容发布更新时间 : 2024/5/18 9:40:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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第1课时 余弦定理及其应用
学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
知识点一 余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccos A， 余弦定理 推论 公式表达 b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC b2＋c2－a2cosA＝， 2bca2＋c2－b2cosB＝， 2aca2＋b2－c2cosC＝ 2ab
思考 在a＝b＋c－2bccosA中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案 a＝b＋c，即勾股定理．
知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题
(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角． (2)已知三角形的三边，求三角形的三个角．
1．在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一．( × ) 2．在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个．( √ ) 3．在△ABC中，若a＋b－c＝0，则角C为直角．( √ ) 4．在△ABC中，若a＋b－c>0，则角C为钝角．( × )
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题型一 用余弦定理解三角形
命题角度1 已知两边及其夹角
1
例1 在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝；sinA＝.
4答案 2
15 8
122222
解析 根据余弦定理，得c＝a＋b－2abcosC＝1＋2－2×1×2×＝4，解得c＝2.
4
b2＋c2－a27
由a＝1，b＝2，c＝2，得cosA＝＝，所以sinA＝
2bc8
15?7?2
1－??＝.
8?8?
反思感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边． 跟踪训练1 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A. 解 由余弦定理，得c＝a＋b－2abcosC＝8－43， 所以c＝6－2. 由正弦定理，得sinA＝因为b>a，所以B>A， 所以A为锐角，所以A＝30°. 命题角度2 已知三边
例2 在△ABC中，已知a＝26，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C.
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2
asinC1
＝， c2
b2＋c2－a2
解 根据余弦定理，得cos A＝ 2bc＝＋23
2
＋3
2
－3
6
2
＋23
＝
3. 2
∵A∈(0，π)， π∴A＝，
6
a2＋b2－c2
cos C＝
2ab＝
6
2
＋＋23
2
－3
2
2×26＋23
＝
2， 2
π
∵C∈(0，π)，∴C＝. 4
ππ7π
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
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π7ππ∴A＝，B＝，C＝. 6124
反思感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的推论先求一个角．
跟踪训练2 在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状． 解 因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5， 所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．
c最大，cosC＝
所以C为钝角，
k2
＋k－
2×2k×4k2
k2
<0，
从而三角形为钝角三角形． 题型二 余弦定理的证明
例3 已知钝角△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函数定义用a，b，
C表示边c.
解 不妨设A为钝角．
如图，作BD⊥CA，交CA延长线于点D.
由三角函数定义，sinC＝，cosC＝， ∴BD＝asinC，CD＝acosC. ∴AD＝CD－CA＝acosC－b. ∴c＝BD＋AD ＝asinC＋(acosC－b)
＝asinC＋acosC＋b－2abcosC ＝a＋b－2abcosC.
→→→→
引申探究 注意到|CA|＝b，|CB|＝a，CA，CB的夹角为C，恰好可以作为一组基底，能否用平面向量完成例3? →→→解 AB＝CB－CA，
→2→→2→2→2→→∴|AB|＝(CB－CA)＝CB＋CA－2CB·CA， 即c＝a＋b－2abcosC.
反思感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．
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