内容发布更新时间 : 2025/1/5 23:29:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一节

数系的扩充与复数的引入

一、基础知识批注——理解深一点

1．复数的有关概念 (1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：

―→

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi

复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

复数z＝a＋bi?a，b∈R?的对应点的坐标为?a，b?，而不是?a，bi?.

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

―→

平面向量OZ.

z1a＋bi?a＋bi??c－di?ac＋bdbc－ad④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

z2c＋di?c＋di??c－di?c2＋d2c2＋d2(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

二、常用结论汇总——规律多一点

(1)(1±i)2＝±2i，

1＋i1－i

＝i，＝－i. 1－i1＋i

(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1，i4n1＝i，i4n2＝－1，i4n3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0(n∈N*)．

＋

＋

＋

＋

＋

＋

z1?|z1|nn

(4)z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，?＝，|z|＝|z|. ?z2?|z2|

三、基础小题强化——功底牢一点

?一?判一判?对的打“√”，错的打“×”? (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

(二)选一选

1＋2i1．(2018·全国卷Ⅱ)＝( )

1－2i43

A．－－i

5534C．－－i

55

43B．－＋i 5534D．－＋i

55

1＋2i?1＋2i?2－3＋4i34

解析：选D ＝＝＝－＋i. 5551－2i?1－2i??1＋2i?

2．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

??x－1＝0，

解析：选D ∵(1－i)x＝1＋yi?x－xi＝1＋yi?(x－1)－(x＋y)i＝0???

?x＋y＝0???x＝1，

?∴x＋yi＝1－i，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D. ??y＝－1，

3．若复数z＝A．－2 C．1

a

＋1为纯虚数，则实数a＝( ) 1＋i

B．－1 D．2

a?1－i?aaa

解析：选A 因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，

221＋i?1＋i??1－i?aa

所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.

22

(三)填一填

4．已知复数z＝|(3－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数是________． 解析：由题意知z＝|3i＋1|＋i＝答案：2－i

5．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________. 解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.

答案：4

12＋?3?2＋i＝2＋i，则z＝2－i.

考点一 复数的四则运算

[典例] (1)(2017·山东高考)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )