内容发布更新时间 : 2024/6/29 19:22:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(二)

学习目标 1.巩固对二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域的理解.2.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件．

知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域

1．因为同侧同号，异侧异号，所以可以用特殊点检验，判断Ax＋By＋C>0的解集到底对应哪个区域？当C≠0时，一般取原点(0,0)，当C＝0时，常取点(0,1)或(1,0)． 2．二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集． 知识点二 约束条件

思考 一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？

答案 分析题意，我们可得到以下式子

x＋y≤25000000，??12x＋10y≥3000000，?x≥0，??y≥0.

梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制．这些限制就是所谓的约束条件． 像思考中的“用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元”称为决策变量．要表达约束条件，先要找到决策变量，然后用这些决策变量表示约束条件．同时还有像思考中的“x≥0，y≥0”在题目中并没有明确指出，但是在生产生活中默认的条件，也要加上．

类型一 含参数的约束条件

x≥1，??

例1 已知约束条件?x＋y－4≤0，

??kx－y≤0

( ) A．1 C．0 答案 A

表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为

B．－1 D．0或1

??x≥1，

解析 条件?

?x＋y－4≤0?

表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，

要使约束条件表示直角三角形区域， 直线kx－y＝0要么垂直于直线x＝1， 要么垂直于直线x＋y－4＝0， ∴k＝0或k＝1. 当k＝0时，

直线kx－y＝0即y＝0，交直线x＝1，

x＋y－4＝0于B(1,0)，C(4,0)．

此时约束条件表示△ABC及其内部，

119

其面积S△ABC＝·|BC|·|AB|＝×3×3＝≠1.

222同理可验证当k＝1时符合题意．

反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路． (1)求平面区域的面积：

①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．

(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．

x－y＋1≥0，??

跟踪训练1 已知不等式组?x＋y－1≥0，

??3x－y－3≤0

表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区

域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________． 1

答案

3

解析 由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)．

x－y＋1≥0??

则不等式组?x＋y－1≥0

??3x－y－3≤0

直线y＝kx＋1过点A.

表示的平面区域为△ABC及其内部．

31

－122133

要把△ABC分成面积相等的两部分，需过BC中点M(，)．此时k＝＝＝. 22333

－022类型二 不等式组表示平面区域在生活中的应用 命题角度1 整数解

例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

规格类型钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，用数学关系式和图形表示上述要求． 解 设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张．

A规格 2 1 B规格 1 2 C规格 1 3 ??x＋2y≥18，则?x＋3y≥27，

x∈N，??y∈N.

均为整数)．

2x＋y≥15，

用图形表示以上限制条件，得到如图所示的平面区域(阴影部分)内的整点(横坐标、纵坐标