内容发布更新时间 : 2024/9/20 0:13:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章 矢量与坐标
§1.3 数量乘矢量
4、 设AB?a?5b，BC??2a?8b，CD?3(a?b)，证明：A、B、D三点共线． 证明 ∵BD?BC?CD??2a?8b?3(a?b)?a?5b?AB
∴AB与BD共线，又∵B为公共点，从而A、B、D三点共线．
6、 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM,
?????????????????????CN可 以构成一个三角形.
证明： ?AL?1(AB?AC) 21 BM?(BA?BC)
21 CN?(CA?CB)
21 ?AL?BM?CN?(AB?AC?BA?BC?CA?CB)?0
2OA?OB+OC=OL+OM+ON.
7.、设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 [证明] ?OA?OL?LA OB?OM?MB OC?ON?NC
?OA?OB?OC?OL?OM?ON?(LA?MB?NC) =OL?OM?ON?(AL?BM?CN) 由上题结论知：AL?BM?CN?0 ?OA?OB?OC?OL?OM?ON 从而三中线矢量AL,BM,CN构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明
OA+OB+OC+OD＝4OM.
[证明]：因为OM＝
1(OA+OC), OM＝21(OB+OD), 2所以 2OM＝1(OA+OB+OC+OD) 2所以
OA+OB+OC+OD＝4OM.
10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．
图1-5
证明 已知梯形ABCD，两腰中点分别为M、N，连接AN、BN． MN?MA?AN?MA?AD?DN，
MN?MB?BN?MB?BC?CN，∴ MN?AD?BC，即
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
3.、设一直线上三点A, B, P满足AP＝?PB(??－1),O是空间任意一点，求证：
???????????????OA??OB
1??[证明]：如图1-7，因为
OP＝AP＝OP－OA,
PB＝OB－OP,
所以 OP－OA＝? (OB－OP),
(1+?)OP＝OA+?OB,
OA??OB从而 OP＝.
1??4.、在?ABC中,设AB?e1,AC?e2.
图1-7 (1) 设D、E是边BC三等分点,将矢量AD,AE分解为e1,e2的线性组合; （2）设AT是角A的平分线(它与BC交于T点),将AT分解为e1,e2的线性组合 解：（1）?BC?AC?AB?e2?e1,BD?
（2）因为
11BC?e2?e1， 33112121AD?AB?BD?e2?e1?e1?e1?e2，同理AE?e2?e1
333333??|BT||e1| ＝,|TC||e1|且 BT与TC方向相同， 所以 BT＝|e1|TC. |e2||e1|e2|e|e?|e1|e2|e2|＝21. AT＝|e||e1|?|e2|1?1|e2|e1?由上题结论有
5．在四面体OABC中，设点G是?ABC的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量
OA,,OB,OC的分解式。
解：?G是?ABC的重心。?连接AG并延长与BC交于P
?AP?12211AB?AC,AG?AP??AB?AC?AB?AC 2332311同理BG?BA?BC,CG?CA?CB C O
331?OG?OA?AG?OA?AB?BC （1） G P
31 OG?OB?BG?OB?BA?BC （2） A B
3 1 OG?OC?CG?OC?CA?CB （3） （图1）
3
????????????????由（1）（2）（3）得
3OG?OA?OB?OC? ?OA?OB?OC
1?AB?AC?BA??1BC?CA?CB 33?? 6．用矢量法证明以下各题
（1）三角形三中线共点
证明：设BC，CA，AB中，点分别为L，M，N。AL与BM交于P1，AL于CN交于P2 BM于CN交于P3，取空间任一点O，则 A
21BM?OB?BA?BC 3311 ?OB?OA?OB?OC?OB?OA?OB?OC A
331同理OP2?OA?OB?OC N M
31 OP3?OA?OB?OC B L C
3OP1?OB?BP1?OB??????????? ?P1,P2,P3三点重合 O ?三角形三中线共点 （图2） 即OG?1OA?OB?OC 3??§1.5 标架与坐标
9. 已知线段AB被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A与B的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i＝1, 2, 3, 4).
在AiGi上取一点Pi，使AiPi＝3PiGi, 从而OPi＝
OAi?3OGi，
1?3