内容发布更新时间 : 2024/12/23 21:25:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念
A级:基础巩固练
一、选择题
1.已知函数f(x)=x+1,则在x0=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 C.0.43 答案 B
解析 ∵x0=2,Δx=0.1,
∴Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f(2.1)-f(2)=0.41.
2.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )
B.0.41 D.0.44
2
A.1 C.2 答案 B 解析
Δyf=Δx-f3-1
=1-3
=-1. 2
2
B.-1 D.-2
3.一质点运动的方程为s(t)=5-3t(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( )
A.-3 m/s C.6 m/s 答案 D
解析 当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6,即t=1时该质点的瞬时速度为-6 m/s. 4.函数f(x)可导,则lim
Δx→0
B.3 m/s D.-6 m/s
f+Δx-f3Δx等于( ) B.不存在 D.以上都不对
A.f′(1) 1
C.f′(1) 3答案 C
- 1 -
解析 lim
Δx→0
f+Δx-f3Δx1f=×lim 3
Δx→0
2
+Δx-f1+Δx-11
=f′(1). 3
5.质点M的运动规律为s=4t+4t,则质点M在t=t0时的瞬时速度为( ) A.4+4t0 C.8t0+4 答案 C
ΔsΔs2
解析 Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=4(Δt)+4Δt+8t0Δt,=4Δt+4+8t0,lim
ΔtΔtΔt→0
B.0 D.4t0+4t0
2
=lim (4Δt+4+8t0)=4+8t0.
Δt→0
6.函数f(x)=x在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是( )
A.k1 Δyf2 解析 ∵y=f(x)=x在x0到x0+Δx之间的平均变化率为=ΔxB.k1>k2 D.不确定 2 x0+Δx-fx0 Δxx0+Δx= Δx= 2 -x0 2 Δy2 =2x0+Δx=k1,又∵y=f(x)=x在x0-Δx到x0之间的平均变化率为 Δxfx0-fx0-Δx= Δxx2x0-Δx0- Δx2 =2x0-Δx=k2,又∵k1-k2=2Δx,而Δx的符号不能确定,故k1,k2 大小不确定,选D. 二、填空题 7.已知函数f(x)=ax+b在区间[1,8]上的平均变化率为3,则实数a=________. 答案 3 解析 f(x)在[1,8]上的平均变化率为 2 f-f8-18a+b-a-b==a=3. 7 8.一物体的运动方程为s=7t-13t+8,且在t=t0时的瞬时速度为1,则t0=________. 答案 1 解析 ∵Δs=7(t0+Δt)-13(t0+Δt)+8-7t0+13t0-8=14t0·Δt-13Δt+7(Δt), Δs∴lim =lim (14t0-13+7Δt)=14t0-13=1.∴t0=1. ΔtΔt→0Δt→0 2 2 2 - 2 - 9.已知函数y=f(x)=1 答案 - 2 1 x,则f′(1)=________. 解析 -1 1+Δxf′(1)=lim Δx→0 f+Δx-fΔx=lim Δx→0 -11+Δx=lim ΔxΔx→0 1 1=-. 2+1+Δx三、解答题 10.若函数f(x)=2x+4x在x=x0处的导数是8,求x0的值. 解 根据导数的定义: ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)+4(x0+Δx)]-(2x0+4x0) =2(Δx)+4x0Δx+4Δx, Δy∴f′(x0)=lim =lim ΔxΔx→0 Δx→0 2 2 2 2 Δx2 +4x0Δx+4Δx Δx=lim (2Δx+4x0+4)=4x0+4. Δx→0 ∴f′(x0)=4x0+4=8,解得x0=1. B级:能力提升练 11.航天飞机发射后的一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t+30t+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s. (1)h(0),h(1)分别表示什么; (2)求第1 s内高度的平均变化率; (3)求第1 s末高度的瞬时变化率,并说明它的意义. 解 (1)h(0)表示航天飞机未发射时的高度,h(1)表示航天飞机发射1 s后的高度. Δhh(2)=Δt-h1-0 =80(m/s),即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s. +Δt-hΔt 3 2 Δhh(3)h′(1)=lim =lim ΔtΔt→0 2 Δt→0 =lim [5(Δt)+45Δt+120]=120,即第1 s末高度的瞬时变化率为120 m/s. Δt→0 它说明在第1 s末附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加. 12.建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元,y是关于x的函数,y=f(x)=10 x - 3 -