中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/11/16 10:38:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章函数、极限与连续

内容概要

名称 邻 域 主要内容(1.1、1.2) U?a,???xx?a????(即U?a,?(U0????xa???x?a??? ) ?a,????xa???x?a??,x?0?)由此,两函数相等?两要素相同;(与自变量用何字母表示无关) U0?a,???x0?x?a??两个要素:对应法则?f以及函数的定义域D 解析表示法的函数类型:显函数,隐函数,分段函数; 局 部 局部 有界 性 对集合X?D,若存在正数M上有界,或,使对所有x?X,恒有f?x??M,称 函数f?x?在Xf?x?是X上的有界函数;反之无界,即任意正数 函 数 函 数 M(无论M多大),总存在(能找到)x0?X,使得f?x0??M 区间I?D,对区间上任意两点x1x2,当x1?x2时,恒有: 特 单 性 调 性 f?x1??f?x2?,称函数在区间I反之,若上是单调增加函数; 上是单调减小函数; f?x1??f?x2?,则称函数在区间I 奇偶性 设函数则称f?x?的定义域D关于原点对称;若?x?D,恒有f??x??f?x?, f?x?是偶函数;若?x?D,恒有f??x???f?x?,则称f?x?是奇 函数; 周期性 若存在非零常数T,使得对?x?D,有?x?T??D,且 f?x?T??f?x?,则称f?x?是周期函数; 初等 函数 几类基本初等函数:幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数; 反函数求法和性质;复合函数性质;初等函数

课后习题全解

习题1-1

★ 1.求下列函数的定义域:

知识点:自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合; 思路:常见的表达式有 ① loga□,( □?0) ② N/□, ( □?0) ③ ④ arcsin(

(?0)

???1,1?)等

?x?0?x?012解:(1)y??1?x?????x???1,0???0,1?;

2?1?x?1x1?x?0?? (2)

y?arcsinx?1x?1??1??1??1?x?3; 22 (3)

?3?x?0?x?31y?3?x?arctan?????x????,0???0,3?;

x?0x?0x??y?lg3?x?0?3?x?x?3?????x????,?1???1,3?;

0?x?11?x,or,x??1x?1?? (4)

?0?x?1?2?x??1,2???2,4?; (5)y?logx?1(16?x)??1?x?1?0?16?x2?★ 2.下列各题中,函数是否相同?为什么?

(1)

(2)y?2x?1与x?2y?1 f(x)?lgx2与g(x)?2lgx;

知识点:函数相等的条件;

思路:函数的两个要素是f(作用法则)及定义域D(作用范围),当两个函数作用法则f相同(化简

后代数表达式相同)且定义域相同时,两函数相同;

2解:(1)f(x)?lgx的定义域D=xx?0,x?R,g(x)?lgx的定义域D?xx?0,x?R},

???虽然作用法则相同lgx (2)

2?2lgx,但显然两者定义域不同,故不是同一函数;

y?2x?1,以x为自变量,显然定义域为实数R;

x?2y?1,以x为自变量,显然定义域也为实数R;两者作用法则相同“2□?1”

与自变量用何记号表示无关,故两者为同一函数;

??sinx,x???3★ 3.设?(x)???0,x???3?y??(x)的图形

,求?(?),?(),?(?),?(?2),并做出函数

644??知识点:分段函数;

思路:注意自变量的不同范围; 解:?()?sin??66?1?2???,????sin?242?4?,???2????????sin????2?4??4?

???2??0;如图:

32y 0?3? 3x图1-1-3 ★ 4.试证下列各函数在指定区间内的单调性 :

?3

(1)

y?x???,1? (2)y?2x?lnx,?0,??? 1?x知识点:单调性定义。单调性是局部性质,函数在定义域内不一定有单调性,但是可以考查定义域的

某个子区间上函数的单调性的问题 。

思路:利用单调性的定义即可。

解: (1)设x1,x2????,1?,当x1?x2时,

y1?y2?(2)设x1,x2x1xx1?x2?2??0,由单调性的定义知是单调增函数;

1?x11?x2?1?x1??1?x2???0,???,x1?x2,

y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?ln??0,???,x1?x2,知

x1x2

由x1,x2x1x,则有 ?1,故ln1?0(对数函数的性质)

x2x2y1?y2?0, 得结论是单调增函数;

★ 5.设

f(x)为定义在??l,l?内的奇函数,若f(x)在?0,l?内单调增加,证明:f(x)在??l,0?