内容发布更新时间 : 2024/5/23 15:42:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

浅谈由递推公式求数列通项公式

数列部分知识是高考必考部分，有许多学生感觉自己等差，等比数列还学的可以但许多时候数列部分题不会求数列通项公式式。而已知数列递推关系求通项公式是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。想找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，将复杂的转为简单，达到化陌生为熟悉的。那么下面我就已知递推关系求数列通项的基本类型作一简单归纳。

类型一：an?1?an?f(n) 或

an?1?g(n) ananan?1a2……a1

an?1an?2a1分析：我们可用“累加”或“累积”的方法即

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?……+(a2?a1)?a1 或an?例1.(1) 已知数列?an?满足a1?式。

11,an?1?an?2，求数列?an?的通项公2n?n（2）已知数列?an?满足a1?1,sn?解：（1）由题知：an?1?an?(n?1)an，求数列?an?的通项公式。 21111??? n2?nn(n?1)nn?1?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?……+(a2-a1)?a1?(111111131?)?(?)?……?(?)???n?1nn?2n?11222n

（2）?2sn?(n?1)an ?2sn?1?nan?1(n?2) 两式相减得：2an?(n?1)an?nan?1(n?2)

ann?(n?2) an?1n?1anan?1a2nn?12?an??……?a1 ??……?1?n

an?1an?2a1n?1n?21即：

类型二：an?1?pan?q(其中p,q为常数，pq(p?1)?0) 分析：把原递推公式转为：an?1?t?p(an?t),其中t=q，再利用换元法转1?p化为等比数列求解。

例2.已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求?an?的通项公式。 解：由an?1?2an?3 可转化为：an?1?3?2(an?3)

令bn?an?3,则b1=a1+3=4且bn+1=2bn??bn?是以b1=4为首项，公比为q=2的等比数列

?bn?4?2n?1?2n?1

即 an?2n?1?3

类型三：an?1?f(n)ang(n)an?h(n)

分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二。例3已知数列?an?满足：a1?1,an?an?13a，求1?1?an?的通项公式。 n?解：原式两边取倒数得：13an?1?1a??3?1

nan?1an?1 设bn =11a,则bn-bn-1=3,且b1=1 ??bn?是b1=3为首项，公差d=2的等差数列n?bn?1?(n?1)?3?3n?2 即an?13n?2

类型四：an?1?panr(p?0,an?0)

分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：lgan?1?rlgan?lgp，再进行求解。

例4.设数列?an?中，a1?1,an?1?1a?an2(a?0)，求?an?的通项公式。 解：由an?1?1a?an2，两边取对数得: lgan?1?2lgan?lg1a

设lgan?1?t?2(lgan?t)展开后与上式对比得：t?lg1a

?原式可转化为lgan+1+lgbn?1?bn,且b1=lg1 a11?2(lgan?lg)aa 令

1bn?(lgan?lg)a，则

1??bn?是b1=lg为首项，公比q=2的等比数列

an?1111?bn?2?lg，即lgan?lg?2n?1?lg

aaa 也即an?a1?2

n?1类型五：an?1?pan?f(n)(其中p为常数)

分析：在此只研究两种较为简单的情况，即f(n)是多项式或指数幂的形式。

（1）f(n)是多项式时转为an?1?A(n?1)?B?p(an?An?B)，再利用换元法转为等比数列

（2）f(n)是指数幂：an?1?pan?rqn?1(pqr?0) 若p?q时则转化为

an?1an?n?r，再利用换元法转化为等差数列 n?1qqqr p?q若p?q时则转化为an?1?tqn?1?p(an?tqn),其中t?例5.（1）设数列?an?中，a1?1,an?1?3an?2n?1，求?an?的通项公式 （2）设数列?an?中，a1?1,an?1?3an?2n，求?an?的通项公式。 解：（1）设an?1?A(n?1)?B?3(an?An?B) ?an?1?3an?2An?2B?A 用待定系数法得：??2A?2?A?1 ???2B?A?1?B?1即an?1?(n?1)?1?3(an?n?1) 令bn?an?n?1,则bn+1=3bn且b1=a1+1+1=3

??bn?是b1=3为首项，公比q=3的等比数列?bn?n?13?3

?nn3即:an?n3??1bn?3?3n?1?3n即:an?3n?n?1