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圆

24.1__圆的有关性质__

24．1.1 圆 [见B本P36]

1．下列命题正确的有( C ) (1)半圆是弧；

(2)弦是圆上两点之间的部分； (3)半径是弦；

(4)直径是最长的弦；

(5)在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】 (1)弧是圆上任意两点间的部分；任意一条直径的两个端点在圆上把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆，因此(1)是正确的命题．(2)弦是连接圆上任意两点的线段，不是圆上两点之间的部分，因此(2)是错误的命题．(3)半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，不是弦．因此(3)是假命题．(4)直径是过圆心的弦，也是最长的弦．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是任意一条不过圆心的弦，连接OC，OD，在△OCD中，OC＋OD>CD，而AB＝OC＋OD，则AB>CD，因此直径是最长的弦．(5)圆心为O，半径为r的圆可以看成由所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形，因此(5)正确．所以(1)，(4)，(5)正确，选C.

2．如图24－1－1所示，⊙O中点A，O，D以及点B，O，C分别在同一直线上，图中弦的条数为( A )

A．2 B．3 C．4 D．5

图24－1－1

图24－1－2

图24－1－3

3．如图24－1－2，P是⊙O内的一点，P到⊙O的最小距离为4 cm，最大距离为9 cm，则该⊙O的直径为( C )

A．6.5 cm B．2.5 cm C．13 cm D．不可求

【解析】 过O，P作直径AB，则AB＝PA＋PB＝4＋9＝13(cm)，故选C.

︵︵

4．图24－1－3中，__AC__是⊙O的直径；弦有__AB，BC，AC__；劣弧有__AB，BC__；优弧︵︵

有__BAC，BCA__．

5．如图24－1－4所示，已知∠AOB＝60°，则△AOB是__等边__三角形．

图24－1－4

图24－1－5 6．如图24－1－5，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝22°， 则∠COB的度数等于__44°__．

【解析】 ∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝22°， ∴∠BOC＝∠A＋∠C＝22°×2＝44°.

7．如图24－1－6，以O为圆心的两个同心圆⊙O，大圆O的半径OC，OD分别交小圆O于A，B两点，求证：AB∥CD. 证明：∵OA＝OB，OC＝OD，

1

∴∠OAB＝(180°－∠O)＝∠C，∴AB∥CD.

2

图24－1－6

图24－1－7

8．如图24－1－7，在⊙O中，D，E分别为半径OA，OB上的点，且AD＝BE，点C为弧AB上一点，连接CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC.求证：CD＝CE. 证明：∵OA＝OB，AD＝BE，∴OA－AD＝OB－BE，即OD＝OE.

OD＝OE，??

在△ODC和△OEC中，?∠DOC＝∠EOC，

??OC＝OC，

∴△ODC≌△OEC，∴CD＝CE.

9．如图24－1－8所示，已知⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，

OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，则AB的长为__5__．

【解析】 连接OA，构造Rt△OAB，利用勾股定理，求出AB的长．设正方形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝CD＝x，又∠POM＝45°，∠DCO＝90°，

1222

∴∠ODC＝∠POM＝45°，∴DC＝OC＝x，∴OB＝2x.在Rt△OAB中，AB＋OB＝OA，OA＝MN2＝5，即x＋(2x)＝5，∴x＝5.

2

2

2

图24－1－8

图24－1－9

10．如图24－1－9，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.

证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC. 又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，

∴△EOB≌△FOC，∴OE＝OF，∴CE＝BF.

11．如图24－1－10，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E，F，求EF的长．

图24－1－10