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第二章 圆锥曲线与方程

本章归纳整合 高考真题

1．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( )．

A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x

解析 由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝4，所以抛物线 的方程为y2＝2px＝8x. 答案 C

2．(2011·安徽高考)双曲线( )．

A．2 B．22 C．4 D．42

x2y2

解析 双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.

48答案 C

3．(2011·广东高考)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为

( )．

A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆

解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到 点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，

故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的

2x2－y2＝8

的实轴长是

轨迹为抛物线． 答案 A

y2x2

4．(2011·江西高考)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.

16m

解析 由题意知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48. 答案 48

5．(2011·全国课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2

.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的2

方程为__________．

x2y22c2

解析 设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，由e＝知＝，

ab2a2b21

故2＝. a2

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝16，故a＝4. ∴b2＝8.

x2y2

∴椭圆C的方程为＋＝1.

168x2y2

答案 ＋＝1

168

6．(2011·陕西高考) 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点4

D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

5(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； 4

(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

5解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)， x＝x，??P

由已知得?5

y＝??P4y.∵P在圆上，

52x2y2

∴x＋(y)＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.

42516

2

44

(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

55设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

4

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得

5x2（x－3）＋＝1， 2525即x2－3x－8＝0.

3－413＋41∴x1＝，x2＝.

22∴线段AB的长度为

|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝16（1＋）（x1－x2）2＝

25

4141×41＝. 255

2

7．(2011·福建高考) 如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A. (1)求实数b的值；

(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

?y＝x＋b?

解 (1)由?2得x2－4x－4b＝0(*)，

??x＝4y

因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2， 代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2，1)．

因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

x2y2

8．(2011·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分

ab1

别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

5(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为→→→

双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．

x2y2x02y02

解 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1(a>0，b>0)上，有2－2＝1.

ababy0y01

由题意又有·＝，

x0－ax0＋a5

即x02－5y02＝a2，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，