内容发布更新时间 : 2025/1/4 16:29:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§8.5 椭 圆

学考考查重点 1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系．

本节复习目标 1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题． 教材链接·自主学习 1． 椭圆的概念

在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ． 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若 ，则集合P为椭圆； (2)若 ，则集合P为线段； (3)若 ，则集合P为空集． 2． 椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2y2＋＝1 (a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2 图形 范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a，b，c的关系 基础知识·自我测试 y2

1． 若椭圆＋2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．

16b2． 如果方程x＋ky＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________．

2

2

x2

x2y21

3． 已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值是

2m2

( )

2

A. 34

B. 35

C. 38D. 3

4． 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B169

中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 A．6

B．5

C．4

( )

x2y2

D．3

x2y2

5． 椭圆2＋2＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，

ab则椭圆的离心率为 A.

( )

2－222－1

B. C.3－1 22

D.2－1

题型分类·深度剖析 题型一 求椭圆的标准方程

例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为

3，则椭圆的标准方程为____________；

(2)(2013·课标全国)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在

x轴上，离心率为

2

.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭2

圆C的方程为__________．

x2y2

变式训练1： 已知F1，F2是椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右

ab顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝10＋5，则此椭圆的方程是____________．

题型二 椭圆的几何性质

例2 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．

x2y2

变式训练2： (2012·安徽)如图，F1、F2分别是椭圆C：2＋2＝

ab1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．

题型三 直线与椭圆的位置关系

例3 (2013·北京)已知椭圆G：＋y＝1.过点(m,0)作圆x＋y＝1的切线l交椭圆G于

4

x2

222

A，B两点．

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

y2

变式训练3： 设F1、F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0

相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

(1)求|AB|；

(2)若直线l的斜率为1，求b的值．