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高考数学精品复习资料

2019.5

第05节 数列的综合应用

【考纲解读】

考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 1.高频考向:根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不1.理解等差数列、等比数列等式 的概念，掌握等差数列、等2.低频考向:数列与函数相结比数列的通项公式与前 n 20xx浙江6,22； 合. 项和公式及其应用. 与数列有关的20xx浙江文8;理6,20； 3.特别关注: 2．了解等差数列与一次函综合问题 20xx浙江理20； （1）灵活选用数列求和公式的数、等比数列与指数函数的20xx浙江文19；理19. 形式，关注应用公式的条件； 关系. （2）熟悉分组求和法、裂项相3．会用数列的等差关系或消法及错位相减法； 等比关系解决实际问题. （3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题. 【知识清单】

一、等差数列和等比数列比较

定义 通项公式 等差数列 等比数列 an?1?an＝常数 an?a1?(n?1)d (1)定义法； (2)中项公式法：an?1＝常数 anan?a1?qn?1(a1?q?0) (1)定义法 2(2)中项公式法：anan?2?an?1 2an?1?an?an?2?n?N???{an}为等差数列； 判定方法 (3)通项公式法：an?pn?q(p,q为常数,n?N?)? {an}为等差数列； (4)前n项和公式法：?n?N?? (an?0)? {an}为等比数列 n(3)通项公式法：an?cq (c,q均是不为0的常数，n?N?)?{an}为等比数列 Sn?An2?Bn(A,B为常数, n?N?)? {an}为等差数列； (5) {an}为等比数列，且an?0，那么数列{logaan} (a?0，且(4) {an}为等差数列?A意义)为等比数列 ??(Aanan总有a?1)为等差数列 (1)若m，n，p，q?N?，且(1)若m，n，p，q?N?，且则am?an?ap?aq m?n?p?q，则aman?apaq m?n?p?q，性质 (2)an?am?(n?m)d (3) Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，…仍成等差数列 (2) an?amqn?m (3)等比数列依次每n项和(Sn?0)，即 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，…仍成等比数列 q?1时，Sn?na1；当q?1时，前n项和 Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22a1(1?qn)a?anq或Sn?1. Sn?1?q1?q对点练习：

【届广西桂林市柳州市高三模拟金卷】已知?an?是等差数列，公差d不为零．若a2， a3，

a7成等比数列，且2a1?a2?1，则an? . 【答案】

.

二．数列求和

1. 等差数列的前n和的求和公式：Sn?2．等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列a1,a2,a3,n(a1?an)n(n?1)?na1?d. 22,an,的前n项和是Sn?a1?a2?a3??an，当q?1时，

a1(1?qn)a?anq或Sn?1；当q?1时，Sn?na1（错位相减法）. Sn?1?q1?q3. 数列前n项和

①重要公式：（1）?k?1?2?3?k?1

n

?n?n(n?1) 2（2）?(2k?1)?1?3?5?k?1n3n??2n?1??n2

23?1?（3）?k?1?2???n??n(n?1)?

k?1?2?33（4）?k2?1?2?3???n?2222k?1n1n(n?1)(2n?1) 6②等差数列中，Sm?n?Sm?Sn?mnd；

nm③等比数列中，Sm?n?Sn?qSm?Sm?qSn.

对点练习：

【2017届浙江台州中学高三10月月考】在等差数列{an}中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1?1，公比为q，且b2?S2?12，q?S2． b2（1）求

an与

bn；

1112?????SSS3． 2n（2）证明：1【答案】（1）an?3n，bn?3n?1；（2）详见解析.

2?b2?S2?12?q?6?d?1??试题解析：（1）设{an}的公差为d，∵?，∴?，解得q?3或q??4S26?dq?q???b2q??（舍），d?3， 故an?3?3(n?1)?3n，bn?3n?1；（2）∵Sn?n(3?3n)，∴212211??(?)， Snn(3?3n)3nn?1