圆锥曲线 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/26 4:43:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

简解:设点M(x,2?x2)为双曲线C上支上任一点,则点M到直线l的距离为:

kx?2?x2?2kk?12?2

?0?k?1? ???

于是,问题即可转化为如上关于x的方程. 由于0?k?1,所以2?x2?x?kx,从而有

kx?2?x2?2k??kx?2?x2?2k.

于是关于x的方程???

??kx?2?x2?2k?2(k2?1)

?2?x22?(2(k2?1)?2k?kx)2, ???2??2(k?1)?2k?kx?0?k2?1x2?2k2(k2?1)?2kx???2??2(k?1)?2k?kx?0.?? ??????2(k2?1)?2k?2?0,

?2 由0?k?1可知:

方程?k2?1?x2?2k2(k2?1)?2kx?2(k2?1)?2k?2?0的二根同

2????正,故2(k2?1)?2k?kx?0恒成立,于是???等价于

?k

k?25. 52?1x?2k2(k?1)?2kx??2?2??2(k2?1)?2k?2?0.

?2由如上关于x的方程有唯一解,得其判别式??0,就可解得

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:x2?2y2?8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于

APAQA、B两点,在线段AB上取点Q,使,求动点Q的轨迹所??PBQB在曲线的方程.

分析:这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.

由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的,自然可选择直线AB的斜率k作为参数,如何将x,y与k联系起来?一方面利用点Q在直线AB上;另一方面就是运用题目条件:P、Q四点共线,不难得到x?4(x?xB)?2xAxB8?(xA?xB)AAPAQ??来转化.由A、B、PBQB,要建立x与k的关系,只需

将直线AB的方程代入椭圆C的方程,利用韦达定理即可.

通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做到心中有数.

将直线方程代入椭圆方程,消去y,利用韦达定理 APPB??AQ QB x?4(xA?xB)?2xAxB 8?(xA?xB)

x?f?k? 利用点Q满足直线AB的方程:y = k (x—4)+1,消去参数k 点Q的轨迹方程

在得到x?f?k?之后,如果能够从整体上把握,认识到:所谓消参,目的不过是得到关于x,y的方程(不含k),则可由y?k(x?4)?1解得

k?y?1,直接代入x?f?k?即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过x?4

程。

4?x1简解:设A?x1,y1?,B(x2,y2),Q(x,y),则由AP??AQ可得:PBQBx2?4?x?x1, x2?x解之得:x?4(x1?x2)?2x1x2 (1)

8?(x1?x2)设直线AB的方程为:y?k(x?4)?1,代入椭圆C的方程,消去y得出关于 x的一元二次方程:

?2k∴

2?1x2?4k(1?4k)x?2(1?4k)2?8?0 (2)

?4k(4k?1)?x?x?,12??2k2?1 ?2?xx?2(1?4k)?8.12?2k2?1?代(3)

入(1),化简得:

x?4k?3. k?2

与y?k(x?4)?1联立,消去k得:?2x?y?4?(x?4)?0.

在(2)中,由???64k2?64k?24?0,解得 可求得

16?21016?210?x?.992?102?10?k?44,结合(3)

109?x?16?210).

9故知点Q的轨迹方程为:2x?y?4?0 (16?2点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线l过点试求

AP的取值范围. PBPBx2y2P(0,3),和椭圆??1顺次交于

94A、B两点,

分析:本题中,绝大多数同学不难得到:AP=?xA,但从此后却一

xB筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程),这只需利用对应的思想实施;其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手,

APx=?A已经是一个关系式,但由于PBxB有两个变量xA,xB,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y得出关于x的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程 求根公式 xA= f(k),xB = g(k) AP/PB = —(xA / xB)