内容发布更新时间 : 2024/6/18 20:21:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

简解：设点M(x,2?x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：

kx?2?x2?2kk?12?2

?0?k?1? ???

于是，问题即可转化为如上关于x的方程. 由于0?k?1，所以2?x2?x?kx，从而有

kx?2?x2?2k??kx?2?x2?2k.

于是关于x的方程???

??kx?2?x2?2k?2(k2?1)

?2?x22?(2(k2?1)?2k?kx)2, ???2??2(k?1)?2k?kx?0?k2?1x2?2k2(k2?1)?2kx???2??2(k?1)?2k?kx?0.?? ??????2(k2?1)?2k?2?0,

?2 由0?k?1可知：

方程?k2?1?x2?2k2(k2?1)?2kx?2(k2?1)?2k?2?0的二根同

2????正，故2(k2?1)?2k?kx?0恒成立，于是???等价于

?k

k?25. 52?1x?2k2(k?1)?2kx??2?2??2(k2?1)?2k?2?0.

?2由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式??0，就可解得

点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:x2?2y2?8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于

APAQA、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所??PBQB在曲线的方程.

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：P、Q四点共线，不难得到x?4(x?xB)?2xAxB8?(xA?xB)AAPAQ??来转化.由A、B、PBQB，要建立x与k的关系，只需

将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 APPB??AQ QB x?4(xA?xB)?2xAxB 8?(xA?xB)

x?f?k? 利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k 点Q的轨迹方程

在得到x?f?k?之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程（不含k），则可由y?k(x?4)?1解得

k?y?1，直接代入x?f?k?即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过x?4

程。

4?x1简解：设A?x1,y1?,B(x2，y2),Q(x,y)，则由AP??AQ可得：PBQBx2?4?x?x1， x2?x解之得：x?4(x1?x2)?2x1x2 （1）

8?(x1?x2)设直线AB的方程为：y?k(x?4)?1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x的一元二次方程：

?2k∴

2?1x2?4k(1?4k)x?2(1?4k)2?8?0 （2）

?4k(4k?1)?x?x?,12??2k2?1 ?2?xx?2(1?4k)?8.12?2k2?1?代(3)

入（1），化简得：

x?4k?3. k?2

与y?k(x?4)?1联立，消去k得：?2x?y?4?(x?4)?0.

在（2）中，由???64k2?64k?24?0，解得 可求得

16?21016?210?x?.992?102?10?k?44，结合（3）

109?x?16?210）.

9故知点Q的轨迹方程为：2x?y?4?0 （16?2点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线l过点试求

AP的取值范围. PBPBx2y2P（0，3），和椭圆??1顺次交于

94A、B两点，

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP=?xA，但从此后却一

xB筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手，

APx=?A已经是一个关系式，但由于PBxB有两个变量xA,xB，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将xA,xB转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 求根公式 xA= f（k），xB = g（k） AP/PB = —（xA / xB）