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专题02 概率统计与数学文化

纵观近几年高考,概率统计部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。

【例1】（2019全国I理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列 的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该 重卦恰有3个阳爻的概率是（ ）

A．

5 16B．

11 32C．

21 32D．

11 16【答案】A

6n?2?64， 【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数

该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数本题， 则该重卦恰有3个阳爻的概率P=m205==．故选A． n6416【试题赏析】《周易》是我国最古老的一部筮占之书，约成书于西周时期。起初编纂此书的目的，是为了便于占算时检索吉凶的结果。后有人依附于它的卦爻形式借以发挥哲学思想，对中华文化影响最深远的一部书。本题以《周易》卦象为背景，考查古典概率的计算，可联系经典实验抛硬币，相当于一枚硬币抛了6次，求有3次正面向上的概率。

【例2】(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )

1111A. B. C. D. 12141518【答案】C

【解析】先弄清不超过30的素数有哪些，然后通过列举，得到基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式进行求解．

不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，列举如下： {2,3}，{2,5}，{2,7}，{2,11}，{2,13}，{2,17}，{2,19}，{2,23}，{2,29}， {3,5}，{3,7}，{3,11}，{3,13}，{3,17}，{3,19}，{3,23}，{3,29}， {5,7}，{5,11}，{5,13}，{5,17}，{5,19}，{5,23}，{5,29}， {7,11}，{7,13}，{7,17}，{7,19}，{7,23}，{7,29}， {11,13}，{11,17}，{11,19}，{11,23}，{11,29}， {13,17}，{13,19}，{13,23}，{13,29}， {17,19}，{17,23}，{17,29}， {19,23}，{19,29}，{19,29}，

1＋9

故共有9＋8＋7＋…＋2＋1＝×9＝45种．

2而和为30的有{7,23}，{11,19}，{13,17}这3种情况， 31

所以所求概率为＝. 4515

【试题赏析】“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”是德国数学家哥德巴赫(C.Goldbach,1690－1764)于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想.18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质的推进，直到20世纪才有所突破.1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功地地证明了“1＋2”，也就是“任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”．这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗“数学王冠上的明珠”仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动．“1＋2”也被誉为陈氏定理．

本题以“哥德巴赫猜想”为背景，将数学文化与概率计算相结合，不仅考查了古典概型的概率计算，同时也展示了我国数学家陈景润的研究成果.

【例3】(2017高考新课标I文)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）

A．

1π1π B． C． D． 4824

【答案】B

【解析】本题以古代的太极图为背景，考查几何概型的概率计算，通过审题，要弄清太极图的特征，得到黑色部分的面积所占的比例，然后进行计算．

?a2a2设正方形边长为a，则圆的半径为，则正方形的面积为a，圆的面积为．由图形的对称性可知，太

42极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概

1?a2??率是224?，故选B．

a8秒杀解法：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率

11?p?，故选B． 42【试题赏析】 “太极”是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源，太极图形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理．本题以此为情境设计了一个简单的概率问题。试题不仅考查几何概型的计算，同时也引导师生重视我国传统文化的学习，关注生活中的数学问题，增强数学的应用意识. 【例4】 (2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【答案】B

【解析】由样本的频率估计总体的频率，254粒和1534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，据此估计． x28设1534石米内夹谷x石，则由题意知≈，

15342541534×28

解得x≈≈169. 故这批米内夹谷约为169石．

254

【试题赏析】本题考查样本估计总体的统计知识，却自然地将数学史作为一种数学文化融入高考。 试题源于古代数学名著《九章算术》中的“米谷粒分”，渗入其中的是我国古代数学中最朴实的统计思想，能使学生接受数学文化的熏陶，领略数学思想方法的魅力，领会统计思想在现实生活中的应用，形成直接应用数学