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高中数学必修五同步练习：正弦定理（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一.填空题
1．在锐角三角形
，则
中，内角 .
所对的边长分别为，若，，
2．在?ABC中，设角A,B所对边分别为a,b，若
sinAcosB，则角B? ． ?ab3．设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距
离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，算出A、B两点的距离为 m. 4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且
2a?ccosC，则B的大小为?bcosB_________．
5．如图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于________;
6．在?ABC中，a?x,b?2,B?45,若三角形有两解，则x的取值范围是 ． 7．在△ABC中，若acosA?bcosB，则△ABC的形状为_____________. 8．在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A?则B?________.
9．?ABC为锐角三角形，BC?1,?B?2?A，则AC的取值范围为_______.
10．已知?ABC的三边分别为a,b,c，且a＝1，B＝45°，S?ABC＝2，则?ABC的外接圆的面积为 ．
二、解答题（题型注释）
11．（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A， B， C所对边的长依次为a，b，c，若osccosC?1． 81
0?6，a?1，b?3，
A?3，4
（1）求a:b:c；
（2）若|AC?BC|?46，求△ABC的面积．
12．（本小题满分12分）设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角B为锐角，且a?2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA?sinC的取值范围．
参考答案 1．
【解析】∵，为锐角，∴；由，得.
又由余弦定理
，解得
2．
.
得，，将代入并化简整理得
? 4ab??2R,得a?2RsinA,b?2RsinB,带入sinAsinB【解析】
试题分析：利用正弦定理
sinAcosBcosB???1,所以B?. 得absinB4考点：正弦定理解三角形. 3．502． 【解析】
0000试题分析：如图：由已知及三角形的内角和定理知?ABC?180?105?45?30，用
正弦定理得
AABAC500??AB??sin45?502． 0sin?ACBsin?ABCsin3050C
考点：解三角形的应用． 4．
B?. 42a?ccosC2sinA?sinCcosC，∴???2sinAcosB
bcosBsinBcosB【解析】 试题分析：∵
2
?，∴?sinBcosC?cosBsinC?sin(B?C)，又∵?ABC中，A?B?C?siBn?(C?)，sA
∴2sinAcosB?sinA，又∵A?(0,?)，∴sinA?0，∴cosB?考点：1.正弦定理的运用；2.三角恒等变形. 5．52??B?. 24?题
3?1
分
析
：
在
?【解析】 试
?AC中
，根据正弦定理有：
CD?s?iCADnAD,?AD??ACDsin?s?iCnD???CADsi1AD?521A0CDsin135103?1 =0nsin1??5在直角?ABD中，?D?30,?AB?所以答案应填：5考点：正弦定理. 6．2?x?22 【解析】
?3?1
??3?1.
??xsin450?b?x，?2?x?22．试题分析： ?a?x,b?2,B?450,且三角形有两解，
考点：正弦定理、三角形接的个数．
7．等腰三角形或直角三角形. 【解析】
试题分析：由正弦定理及acosA?bcosB：sinAcosA?sinBcosB?sin2A?sin2B， 又∵A,B?(0,?)，且至多只有一个是钝角，∴2A?2B或2A?2B??， ∴?ABC为等腰三角形为直角三角形.
考点：1.正弦定理的推论；2.三角恒等变形. 8．
?2?或 331sin33，所以sinB?，由于0?B??， sinB2【解析】
试题分析：依题意，由正弦定理知
?6?所以B??3或
2?. 3考点：正弦定理的运用，容易题.
3
9．
?2,3
?【解析】
考点：正弦定理 10．
25? 2【解析】
试题分析：S?ABC?112acsinB??1?c?sin45?c?2，所以c?42。所以2242b?a?c?2accosB?1?42222??2?2?1?42?2?25，所以b?5。设?ABC外2接圆半径为R，由正弦定理可得
2b52?2R，解得R?。则此三角形外接圆的面积为sinB2?52?25?2。 S??R???????2?2??考点：1三角形面积公式；2余弦定理；3正弦定理求外接圆半径。 11．（1）4:5:6；（2）157 4【解析】 试题分析：（1）由已知求出sinA和sinC，进而求出sinB，再由正弦定理可得三边的比值；（2）根据（1），可设出三边的长，由|AC?BC|?46即可求出三边长，又知道夹角正弦值，可以求出三角形面积.
722)试题解析：（1）依题设：sinA＝1?cos2A＝1?(3＝sinC＝1?cos2C＝1?(14，8)4＝8，
故cosB＝cos[π－（A＋C）]＝－cos （A＋C）＝－（cosAcosC－sinAsinC）＝－（32－32）
4
32137＝16.
9)则:sinB＝1?cos2B＝1?(16＝16
2957所以a:b:c?sinA:sinB:sinC?4:5:6 6分
（2）由（1）知：a:b:c?sinA:sinB:sinC?4:5:6，
不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0.故知：|AC|＝b＝5k，|BC|＝a＝4k. 依题设知：|AC|＋|BC|＋2|AC||BC|cosC＝46 ? 46k＝46，又k＞0?k＝1.
2
2
2
故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6.
137157?△ABC的面积是?4?5? 12分
284考点：同角三角函数关系式，正弦定理，三角形面积 12．（1）
?3；（2）(?,3] 621，2【解析】
试题分析：（1）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由角B为锐角得B?π?；（2）由（1）知C????A，利用诱导公式与辅助角公式变形66????????，因此C?3sinA(?)，由0?A?化简得cosA?sin知，?A?63363cosA?sCin的取值范围为(?3,3]． 21， 2试题解析：（1）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?π． 6（2）cosA?sinC?cosA?sin???????????A??cosA?sin??A? ???6?13????cosA?cosA?sinA?3sin?A??．
223??由0?A???????知，?A??， 6336所以?3??1?????sin?A???1．由此有??3sin?A???3， 23?23??? 5
所以，cosA?sinC的取值范围为(?考点：解三角形与三角恒等变换
3,3]． 2 6