内容发布更新时间 : 2024/6/1 22:51:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第17讲 定积分与微积分基本定理
考纲要求 1．了解定积分的实际背景、基本思想及概念． 2．了解微积分基本定理的含义.
1．定积分的定义及相关概念
一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0 nn考情分析 2015·天津卷，11 2015·湖南卷，11 2015·陕西卷，16 分值：5分 命题趋势 定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积. 作和式?f(ξi)Δx＝? i＝1 i＝1 b－af(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数n叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?bf(x)dx. ?a在?bf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间__[a，b]__叫做积分区间， ?a函数f(x)叫做被积函数，x叫做__积分变量__，__f(x)dx__叫做被积式． 2．定积分的几何意义 f(x) f(x)≥0 ?f(x)dx的几何意义 ?a表示由直线__x＝a__，__x＝b(a≠b)__，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 表示由直线__x＝a__，__x＝b(a≠b)__，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 bf(x)<0 f(x)在[a，b]上有正有负 3．微积分的性质 (1)?bkf(x)dx＝__k?bf(x)dx__(k为常数)； ?a?a (2)?b[f1(x)±f2(x)]dx＝__?bf1(x)dx±?bf2(x)dx__； ?a?a?a(3)__?bf(x)dx__＝?cf(x)dx＋?bf(x)dx(其中a ?a?a?c4．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?bf(x)dx＝ ?a__F(b)－F(a)__，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式． 5．定积分与曲边梯形面积的关系 设阴影部分的面积为S. (1)S＝?bf(x)dx； ?a(2)S＝__－?bf(x)dx__； ?a(3)S＝__?cf(x)dx－?bf(x)dx__； ?a?c(4)S＝?bf(x)dx－?bg(x)dx＝?b[f(x)－g(x)]dx. ?a?a?a6．定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系 (1)s＝__?bv(t)dt__； ?a?a(2)W＝__?bF(s)ds__. 7．奇偶函数定积分的两个重要结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)是偶函数，则?af(x)dx＝2?a0f(x)dx； ??－a(2)若f(x)是奇函数，则?af(x)dx＝0. ?－a 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?bf(x)dx＝?bf(t)dt.( √ ) ?a?a(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( × ) (3)若?bf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下 ?a 方．( × ) 解析 (1)正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下限有关，与积分变量用什么字母表示无关． (2)错误．不一定是，要结合具体图形来定． (3)错误．也有可能是在x轴上方部分的面积小于在x轴下方部分的面积． 12x2．若s1＝?2xdx，s2＝?2dx，s3＝?2edx，则s1，s2，s3的大小关系为( B ) ?1 ?1x?1 A．s1 B．s2 13213372x2 解析 因为s1＝x|1＝(2－1)＝<3，s2＝ln x|1＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s3＝e|1＝ 333e－e>3， 所以s2 3．直线y＝4x与曲线y＝x在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D ) A．22 C．2 ??y＝4x， 解析 由?3 ?y＝x，? 3 2 B．42 D．4 得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)， ?214?3 所以S＝?2(4x－x)dx＝?2x－x?4??? 0 2 2 0 ＝4，故选D． 4.已知t>1，若?t(2x＋1)dx＝t，则t＝__2__., ?1 解析 ?t(2x＋1)dx＝(x＋x)|1＝t＋t－2 2t2 ?1 从而得方程t＋t－2＝t，解得t＝2. 5．汽车以36 km/h的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度a＝2 m/s刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__25__m., 解析 t＝0时，v0＝36 km/h＝10 m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝10－2t，由v(t)＝0得t＝5 s，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为?5v(t)dt＝?5(10 2 22 ?0?0 －2t)dt＝(10t－t)|0＝25(m)． , 一 定积分的计算, , 25