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信号与系统 实验报告

实验四 非周期信号的傅里叶变换

实验四 非周期信号的傅里叶变换

一、实验目的

傅里叶变换是通信系统、图像处理、数字信号处理以及物理学等领域内的一种重要的数学分析工具。通过傅里叶变换技术可以将时域上的波形分 布变换为频域上的分布，从而获得信号的频谱特性。MATLAB提供了专门的函数fft、ifft、fft2(即2维快速傅里叶变换)、ifft2以及fftshift用于实现对

信号的傅里叶变换。本次实验的目的就是练习使用fft、ifft以及fftshift函数，对一些简单的信号处理问题能够获取其频谱特性（包括幅频和相频特性）。

二、实验预备知识

1. 离散傅里叶变换(DFT)以及快速傅里叶变换(FFT)简介

设x(t)是给定的时域上的一个波形，则其傅里叶变换为

X(f)??x(t)e?j2?ftdt (1)

???显然X( f )代表频域上的一种分布(波形)，一般来说X( f )是复数。而傅里叶逆变换定义为：

x(t)??X(f)ej2?ftdf (2)

???因此傅里叶变换将时域上的波形变换为频域上的波形，反之，傅里叶逆变换则将频域上的波形变换为时域上的波形。

由于傅里叶变换的广泛应用，人们自然希望能够使用计算机实现傅里叶变换，这就需要对傅里叶变换(即(1)式)做离散化处理，使之符合电脑计算的特征。另外，当把傅里叶变换应用于实验数据的分析和处理时，由于处理的对象具有离散性，因此也需要对傅里叶变换进行离散化处理。而要想将傅里叶变换离散化，首先要对时域上的波形x(t)进行离散化处理。采用一个时域上的采样脉冲序列:

x(t)

? (t－nT ), n = 0, 1, 2, …, N－1；

可以实现上述目的，如图所示。其中N为采样点数，T为采样周期；fs = 1/T是采样频率。注意采样时，采样频率fs必须大于两倍的信号频率（实际是截止频率），才能避免混迭效应。 接下来对离散后的时域波形x(t)?x(t)?(t?nT)?x(nT)的

t

? 脉冲序列

t

傅里叶变换X(f)进行离散处理。与上述做法类似，采用频域上的?脉冲序列：

x(t)? (t－nT)

? ( f－n/T0), n = 0, 1, 2, …, N－1；T0= NT 为总采样时间

可以实现傅里叶变换X(f)的离散化，如下图示。不难看出，离散

t

后的傅里叶变换其频率间隔(频率轴上离散点的间隔，即频域分辨率)

X(f)

?f?f11??s (3) T0NTNf

因此要增加分辨率须增加采样点数目N。频域上每个离散点对应的频率为:

? (f－n/T0)

fn?fnn??ns; n?0,1,2,...,N-1 (4)T0NTNf

X( f )

显然n = 0的点对应于直流成分。

经过以上离散化处理之后，连续积分的傅里叶变换(1)式转变为如下离散形式：

N?1k?0f

混迭

X(fn)??x(tk)e?j2?nk/N, n?0,1,2,...,N?1 (5)其中tk= kT

（k=0,1,2,…,N-1）代表采样点时刻。X( fn)一般是复数，因此离散傅里叶变换(DFT)后变成一个N点（采样点数）的复数序列。X( fn)绝对值代表振幅，其幅角代表相位，因此由(5)式可以给出DFT的振幅频谱和相位频谱。(5)式通常又简写成如下形式：

nkX(n)??x(k)WN, n?0,1,2,...,N?1 (6)

k?0N?1其中 WN?e?j2?/N ，x是采样点数据，它是一个N个点的向量，DFT的结果X是N个点的复数向量。(5)式或(6)式就是对傅里叶变换进行数值计算的基础。

一般采样点数N越大，DFT的结果越接近真实的情况，但是当N较大时，(6)式的计算量很大，因为使用计算机求解(6)式时，总共要执行N2次复数乘法和N×(N-1)次复数加法。所以直接用DFT算法（即(5)式）进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。为了减轻计算的压力，人们提出了一种所谓快速傅里叶变换(FFT)的思想：