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2018届九年级数学上册 2.4 用因式分解法求解一元二次方程教案
（新版）北师大版
【知识与技能】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．
【过程与方法】
通过比较、分析、综合，培养学生分析问题、解决问题的能力． 【情感态度】
通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．
【教学重点】
用因式分解法解一元二次方程． 【教学难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
一、创设情境，导入新课 复习：将下列各式分解因式：
2
(1)5x－4x；
2
(2)x－4x＋4；
(3)4x(x－1)－2＋2x；
2
(4)x－4；
22
(5)(2x－1)－x.
【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．
二、合作交流，探究新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法．
【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．
三、运用新知，深化理解
2
1．解方程5x＝4x.
解：原方程可变形x(5x－4)＝0……第一步 ∴x＝0或5x－4＝0……第二步
4
∴x1＝0，x2＝.
5
【教学说明】教师提问、板书，学生回答．
分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．
2．用因式分解法解下列方程：
2
(1)5x＋3x＝0；
(2)7x(3－x)＝4(x－3)；
22
(3)9(x－2)＝4(x＋1).
分析：(1)左边＝x(5x＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x(3－x)－4(x－3)＝0，找出(3－x)与(x－3)的关系；(3)应用平方差公式．
解：(1)因式分解，得x(5x＋3)＝0， 于是得x＝0或5x＋3＝0，
x1＝0，x2＝－；
(2)原方程化为7x(3－x)－4(x－3)＝0， 因式分解，得(x－3)(－7x－4)＝0， 于是得x－3＝0或－7x－4＝0，
35
x1＝3，x2＝－；
(3)原方程化为9(x－2)－4(x＋1)＝0， 因式分解，得
[3(x－2)＋2(x＋1)][3(x－2)－2(x＋1)]＝0， 即(5x－4)(x－8)＝0，
于是得5x－4＝0或x－8＝0，
2
2
47
x1＝，x2＝8.
【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．
3．选择合适的方法解下列方程．
2
(1)2x－5x＋2＝0；
(2)(1－x)(x＋4)＝(x－1)(1－2x)；
22
(3)3(x－2)＝x－2x.
分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x)与(x－1)的关系用因式分解法；(3)3(x2
－2)＝x·(x－2)用因式分解法．
解：(1)a＝2，b＝－5，c＝2， b2－4ac＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，
45
x＝
－（－5）±95±3
＝，
2×24
x1＝2，x2＝；
(2)原方程化为(1－x)(x＋4)＋(1－x)(1－2x)＝0， 因式分解，得(1－x)(5－x)＝0， 即(x－1)(x－5)＝0， x－1＝0或x－5＝0， x1＝1，x2＝5；
2
(3)原方程变形为3(x－2)－x(x－2)＝0， 因式分解，得(x－2)(2x－6)＝0， x－2＝0或2x－6＝0， x1＝2，x2＝3.
【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．
2222222
4．已知(a＋b)－(a＋b)－6＝0，求a＋b的值．
2222
分析：若把(a＋b)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a＋b)为未知数的一元二次方程．
222
解：设a＋b＝x，则原方程化为x－x－6＝0.
a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0， 1±25
，∴x1＝3，x2＝－2. 22222
即a＋b＝3或a＋b＝－2， 222222
∵a＋b≥0，∴a＋b＝－2不符合题意应舍去，取a＋b＝3. 【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．
2
5．用一根长40 cm的铁丝围成一个面积为91 cm的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？
12
x＝
解：设长为x cm，则宽为(
40
－x)cm， 2
x·(－x)＝91，
解这个方程，得x1＝7，x2＝13.
40
当x＝7 cm时，－x＝20－7＝13(cm)(舍去)；
240
当x＝13 cm时，－x＝20－13＝7(cm)．
2
4022
当围成正方形时，它的边长为＝10(cm)，面积为10＝100(cm)．
4【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力． 四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分． 五、反思小结，梳理新知
1．本节课我们学习了哪些知识？
2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？
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【教学说明】对某些方程而言，因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其他方法．
六、布置作业
1．教材习题2.7第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．