内容发布更新时间 : 2024/11/16 17:16:38星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第七节 立体几何中的向量方法

空间角

(1)空间角的定义．

(2)掌握线线角、线面角、面面角的求法．

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量

1．直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．

2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作平面α的法向量．

易误提醒 (1)通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向

量；当直线平行于x轴，y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)．

(2)求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n＝(0,0,0)不能作为法向量．

必备方法 平面的法向量求法步骤： (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，

b＝(a2，b2，c2)；

?a＝0，?n·

(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组?

?b＝0；?n·

(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．

[自测练习]

1．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n，则下列结论正确的是( )

A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1) B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1) C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1) D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)

解析：直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，经检验只有选项C中s·n＝0，故选C.

答案：C

2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝( )

A．3 C．5

B．4 D．6

解析：∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5. 答案：C

知识点二 利用空间向量求空间角 1．求两条异面直线所成的角

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ a与b的夹角a，b

范围 π0<θ≤2 cos θ＝|cos a，b0

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos

3．求二面角的大小

(1)若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异→与CD→的夹角．(如图a) 面直线，则二面角的大小就是向量AB

(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图b、c)．

a，n

|＝|a·n|

. |a||n|

易误提醒 (1)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，

π??

如两向量的夹角范围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是?0，2?.

?

?

(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．

[自测练习]

3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平