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Jz盘= Jzc2+m（R+l 2）=mR 2+16mR2=所以

mR2

Jz= Jz杆+Jz盘=3mR 2+

mR2= mR 2

例12-3：质量为M1的塔伦可绕垂直于图面的轴O转动，绕在塔轮上的绳索于塔轮

间无相对滑动，绕在半径为r的轮盘上的绳索于刚度系数为k的弹簧相连接，弹簧的另一端固定在墙壁上，绕在半径为R的轮盘上的绳索的另一端竖直悬挂质量为M2的重物。若塔轮的质心位于轮盘中心O，它对轴O的转动惯量Jo=2mr,R=2r,M1=m,M2=2m.求弹簧被拉长s时，重物M2的加速度。

解 塔轮做定轴转动，设该瞬时角速度为w,重物作平移运动，则它的速度为v=Rw,它们对O点的动量矩分别为Lo1，Lo2，大小为 Lo1=-Jo2w=-2mr2ω，Lo2=-2mR2w=-8mr2ω2 系统对O点的外力矩为 M0（

）=F2r-m2g2R=ksr-4mgr

根据动量矩定理L0=ΣM0（）

得10mr2=(4mg-ks)r

α==

因重物的加速度a2=Rα，所以：a2=Rα=

第13章 动能定理

1. 质点系动能的微分,等于作用在质点系上所有力所做元功的和,这就是质点系微分形式的

动能定理.(13-23)

2. 质点系积分形式的动能定理:质点系在某一运动过程中动能的改变量,等于作用在质点系

上所有力在这一过程中所做的功的和.(13-24,13-25)

3. 力的功率等于切向力与力作用点速度大小的乘积(13-28)

4. 作用在转动刚体上力的功率等于该力堆转轴的矩与角速度的乘积.(13-29)

5. 质点系动能对时间的一阶导数等于作用在指点系上所有力的功率的代数和(功率方程

13-30)

例13-5：重物A和重物B通过动滑轮D和定滑轮C而运动。如果重物A开始时向

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下的速度为v0,试问重物A下落多大距离时，其速度增大一倍。设重物A和B的质量均为m1，滑轮D和C的质量均为m2，且为均质圆盘。重物B于水平间的动摩擦因数位f,绳索不能伸长，其质量忽略不计。

解 以系统为研究对象。系统中重物A和B作平移，定滑轮C做定轴转动，动滑轮D

做平面运动。初瞬时A的速度大小为v0，则滑轮D轮心的速度大小为v0，角速度为ωD=;

定滑轮C的角速度为ωC=；重物B的速度大小为2v0。于是运动初瞬时系统的动能为

T1=m1v02+m2v02+(m2rD2)() 2+(m2rC2)() 2+m12v0 2

=(10m1+7m2)

(10m1+7m2)

速度增大一倍时的动能为T2=

设重物A下降h高度时，其速度增大一倍。所有的力所做的功为 ∑由式有

=m1gh+m2gh-f’m1g22h=[m1g(1-2f’)+m2g]h

(10m1+7m2)= [m1g(1-2f’)+m2g]h

解得h=

例13-7：在对称杆的A点，作用一竖直常力F，开始时系统静止。求连杆OA运功

动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。

解 以系统为研究对象。由系统从静止开始运动，故初瞬时系统的动能为 T1=0

当杆OA运动到水平位置时，杆端B为杆AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为零。设此时杆OA的角速度为w，由于OA=AB,所以杆AB的角速度亦为w，系统此时的动能为

T2=JOAω2+JABω2=() ω2+() ω2=ω2

所有的力所做的功为 ∑=2(mg)+Flsinα=(mg+F)lsinα

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由 ω2-0=(mg+F)lsinα

解得ω=

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